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{{DISPLAYTITLE:Problema Triângulo Geometria}}

''This conversation was exported from ChatGPT''<ref>{{cite web|title=Problema Triângulo Geometria|url=https://chatgpt.com/share/69679cde-35e4-8007-ac39-bb5264fd84d2|publisher=ChatGPT|access-date=2026-01-15}}</ref>

== gpt-5-2 ==
=== User: Por favor, resolva e mostre a resolução do seguinte problema de geometria: ===
Por favor, resolva e mostre a resolução do seguinte problema de geometria:

Um aluno apaixonado por geometria plana, desenha com régua e compasso um triângulo ABC. Ele notou que os três lados do triângulo ABC são números naturais consecutivos e que o maior ângulo era igual ao dobro do menor. Se os lados do triângulo ABC são medidos em centímetros, é CORRETO afirmar que a área do triângulo ABC é igual a?

=== Assistant: Vamos resolver passo a passo. ===
Vamos resolver passo a passo.

==== 1. Interpretação do problema ====

Sejam os lados do triângulo ABCABCABC três números naturais consecutivos. Denotemos:

a=n−1,b=n,c=n+1a = n-1,\quad b = n,\quad c = n+1a=n−1,b=n,c=n+1
onde ccc é o maior lado.
Sejam os ângulos opostos a esses lados, respectivamente:

α≤β≤γ\alpha \le \beta \le \gammaα≤β≤γ
O enunciado informa que o maior ângulo é o dobro do menor, isto é,

γ=2α\gamma = 2\alphaγ=2α

==== 2. Relação entre os ângulos ====

A soma dos ângulos internos de um triângulo é:

α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \piα+β+γ=π
Substituindo γ=2α\gamma = 2\alphaγ=2α:

α+β+2α=π⇒β=π−3α\alpha + \beta + 2\alpha = \pi
\quad\Rightarrow\quad
\beta = \pi - 3\alphaα+β+2α=π⇒β=π−3α

==== 3. Aplicação da Lei dos Senos ====

Pela Lei dos Senos:

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}sinαa=sinβb=sinγc
Substituindo os valores:

n−1sin⁡α=nsin⁡(3α)=n+1sin⁡(2α)\frac{n-1}{\sin\alpha}
=
\frac{n}{\sin(3\alpha)}
=
\frac{n+1}{\sin(2\alpha)}sinαn−1=sin(3α)n=sin(2α)n+1
===== 3.1 Usando =====
sin
⁡
(
2
𝛼
)
=
2
sin
⁡
𝛼
cos
⁡
𝛼
sin(2α)=2sinαcosα

Comparando o primeiro e o terceiro termos:

n−1sin⁡α=n+12sin⁡αcos⁡α\frac{n-1}{\sin\alpha} = \frac{n+1}{2\sin\alpha\cos\alpha}sinαn−1=2sinαcosαn+1
Cancelando sin⁡α\sin\alphasinα:

2(n−1)cos⁡α=n+12(n-1)\cos\alpha = n+12(n−1)cosα=n+1
⇒cos⁡α=n+12(n−1)(1)\Rightarrow\quad
\cos\alpha = \frac{n+1}{2(n-1)}
\tag{1}⇒cosα=2(n−1)n+1(1)

===== 3.2 Usando =====
sin
⁡
(
3
𝛼
)
=
3
sin
⁡
𝛼
−
4
sin
⁡
3
𝛼
sin(3α)=3sinα−4sin
3
α

Comparando o primeiro e o segundo termos:

n−1sin⁡α=n3sin⁡α−4sin⁡3α\frac{n-1}{\sin\alpha} = \frac{n}{3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha}sinαn−1=3sinα−4sin3αn
Simplificando:

(n−1)(3−4sin⁡2α)=n(n-1)(3 - 4\sin^2\alpha) = n(n−1)(3−4sin2α)=n
Como sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alphasin2α=1−cos2α, temos:

3−4(1−cos⁡2α)=4cos⁡2α−13 - 4(1 - \cos^2\alpha) = 4\cos^2\alpha - 13−4(1−cos2α)=4cos2α−1
Logo:

(n−1)(4cos⁡2α−1)=n(2)(n-1)(4\cos^2\alpha - 1) = n
\tag{2}(n−1)(4cos2α−1)=n(2)

==== 4. Determinação de ====
𝑛
n

Substituindo (1)(1)(1) em (2)(2)(2):

cos⁡2α=(n+1)24(n−1)2\cos^2\alpha = \frac{(n+1)^2}{4(n-1)^2}cos2α=4(n−1)2(n+1)2
4cos⁡2α−1=(n+1)2−(n−1)2(n−1)2=4n(n−1)24\cos^2\alpha - 1
=
\frac{(n+1)^2 - (n-1)^2}{(n-1)^2}
=
\frac{4n}{(n-1)^2}4cos2α−1=(n−1)2(n+1)2−(n−1)2=(n−1)24n
Então:

(n−1)⋅4n(n−1)2=n(n-1)\cdot \frac{4n}{(n-1)^2} = n(n−1)⋅(n−1)24n=n
⇒4nn−1=n\Rightarrow\quad
\frac{4n}{n-1} = n⇒n−14n=n
⇒n(n−1)=4n⇒n=5\Rightarrow\quad
n(n-1) = 4n
\quad\Rightarrow\quad
n = 5⇒n(n−1)=4n⇒n=5
Portanto, os lados do triângulo são:

4,  5,  6\boxed{4,\;5,\;6}4,5,6

==== 5. Cálculo da área (Fórmula de Heron) ====

O semiperímetro é:

s=4+5+62=152s = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}s=24+5+6=215
A área é:

A=s(s−a)(s−b)(s−c)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}A=s(s−a)(s−b)(s−c)
A=152⋅72⋅52⋅32=157516A = \sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}}
= \sqrt{\frac{1575}{16}}A=215⋅27⋅25⋅23=161575
Como 1575=225⋅71575 = 225\cdot 71575=225⋅7:

A=1574A = \frac{15\sqrt{7}}{4}A=4157

==== 6. Resposta final ====

É correto afirmar que a área do triângulo ABCABCABC é:

1574 cm2\boxed{\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}\ \text{cm}^2}4157 cm2

== References ==
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