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{{DISPLAYTITLE:導出方法の説明}}

''This conversation was exported from ChatGPT''<ref>{{cite web|title=導出方法の説明|url=https://chatgpt.com/share/6958fa17-8214-800f-b483-22f11acd2dc2|publisher=ChatGPT|access-date=2026-01-04}}</ref>

== gpt-5-2-thinking ==
=== User: Wikipediaで見つけた公式なのですが導出方法がわかりません。教えていただけると幸いです。 ===
Wikipediaで見つけた公式なのですが導出方法がわかりません。教えていただけると幸いです。
∫[0→∞](aˣ/Γ(x))dx=aeᵃ+a∫[0→∞](e⁻ᵃˣ/(ln²x+π²))dx

=== Assistant: 以下では a0 を仮定する実際この範囲でWikipediaの式が自然に成り立つとして、導出の流れを示す。 ===
以下では a>0 を仮定する(実際この範囲でWikipediaの式が自然に成り立つ)として、導出の流れを示す。

目標は

∫0∞axΓ(x) dx=aea+a∫0∞e−axln⁡2x+π2 dx\int_{0}^{\infty}\frac{a^{x}}{\Gamma(x)}\,dx
= a e^{a}+a\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a x}}{\ln^{2}x+\pi^{2}}\,dx∫0∞Γ(x)axdx=aea+a∫0∞ln2x+π2e−axdx
である。

==== 1. Abel–Plana(Abel–Plana)の公式を使う ====

Abel–Planaの公式( a=0 の形)は、条件を満たす正則関数 f に対して

∑n=0∞f(n)=f(0)2+∫0∞f(x) dx+i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt\sum_{n=0}^{\infty} f(n)
=\frac{f(0)}{2}+\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dtn=0∑∞f(n)=2f(0)+∫0∞f(x)dx+i∫0∞e2πt−1f(it)−f(−it)dt
である。 ウィキペディア<ref>{{cite web|title=ウィキペディア|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Plana_formula|publisher=en.wikipedia.org|access-date=2026-01-04}}</ref>

ここで

f(z)=azΓ(z)f(z)=\frac{a^{z}}{\Gamma(z)}f(z)=Γ(z)az
と置く。1/Γ(z) は非正整数で 0 になる(Γ が極を持つので逆数が 0)ため、特に f(0)=0 である。

よって Abel–Plana を変形して

∫0∞axΓ(x) dx=∑n=0∞anΓ(n)−  i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt\int_{0}^{\infty}\frac{a^{x}}{\Gamma(x)}\,dx
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{\Gamma(n)}
-\; i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt∫0∞Γ(x)axdx=n=0∑∞Γ(n)an−i∫0∞e2πt−1f(it)−f(−it)dt
となる。

==== 2. 離散和の部分は a e^a になる ====

n=0 では 1/Γ(0)=0 なので項は 0。n≥1 では Γ(n)=(n-1)! より

∑n=0∞anΓ(n)=∑n=1∞an(n−1)!=a∑m=0∞amm!=aea.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{\Gamma(n)}
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(n-1)!}
=a\sum_{m=0}^{\infty}\frac{a^{m}}{m!}
=a e^{a}.n=0∑∞Γ(n)an=n=1∑∞(n−1)!an=am=0∑∞m!am=aea.
したがって残りは

−i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt-i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt−i∫0∞e2πt−1f(it)−f(−it)dt
を

a∫0∞e−axln⁡2x+π2 dxa\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a x}}{\ln^{2}x+\pi^{2}}\,dxa∫0∞ln2x+π2e−axdx
に変形できればよい。

==== 3. “ln^2+π^2” が出てくる鍵(フーリエ変換の恒等式) ====

次の恒等式が要である：

∫0∞uitu(ln⁡2u+π2) du=e−π∣t∣.\int_{0}^{\infty}\frac{u^{it}}{u(\ln^{2}u+\pi^{2})}\,du=e^{-\pi |t|}.∫0∞u(ln2u+π2)uitdu=e−π∣t∣.
これは u=e^{y} と置換すると

∫−∞∞eityy2+π2 dy=e−π∣t∣\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ity}}{y^{2}+\pi^{2}}\,dy=e^{-\pi|t|}∫−∞∞y2+π2eitydy=e−π∣t∣
に変わり、これは有名なフーリエ変換の公式
∫−∞∞eityy2+a2dy=πae−a∣t∣\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ity}}{y^{2}+a^{2}}dy=\frac{\pi}{a}e^{-a|t|}∫−∞∞y2+a2eitydy=aπe−a∣t∣
の a=π の場合である。
(この形は後で “e^{-π|t|} を u 積分に直す” ために使う。MSEの導出でもここが同じ役をしている。 Mathematics Stack Exchange<ref>{{cite web|title=Mathematics Stack Exchange|url=https://math.stackexchange.com/questions/741014/prove-int-0-infty-frac1-gammax-mathrmdx-e-int-0-infty-fr|publisher=Mathematics Stack Exchange|access-date=2026-01-04}}</ref>)

==== 4. 複素解析側の中身(要点だけ) ====

MSEにある Hardy(由来はRamanujan)の流れと同様に、Abel–Planaの補正項を
# 反射公式(または sin と Γ の関係)で整理して、t を -∞〜∞ に拡張した形の積分に直す
# そこで出てくる e^{-\pi|t|} を上の恒等式で u 積分に置き換える
# 積分順序を交換し、内側の t 積分を Mellin 変換の逆変換(輪郭積分)として評価する

という手順を踏むと、結局

−i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt=a∫0∞e−auln⁡2u+π2 du-i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt
= a\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a u}}{\ln^{2}u+\pi^{2}}\,du−i∫0∞e2πt−1f(it)−f(−it)dt=a∫0∞ln2u+π2e−audu
が得られる。ここで最後の “内側の t 積分が e^{-a u} に落ちる” 部分は、MSE解答中で「Mellin transform gives … = -e^{-u}」として書かれている箇所の a 付き一般化である。 Mathematics Stack Exchange<ref>{{cite web|title=Mathematics Stack Exchange|url=https://math.stackexchange.com/questions/741014/prove-int-0-infty-frac1-gammax-mathrmdx-e-int-0-infty-fr|publisher=Mathematics Stack Exchange|access-date=2026-01-04}}</ref>

(厳密に書くなら、Γ と sin の関係を使って 1/Γ(z) の Hankel 型表現や、縦線 Re(z)=0 上の積分を閉曲線で評価して留数を拾う、という標準手順になる。Abel–Plana自体が複素解析由来なので、この段階は複素解析が避けにくい。 ウィキペディア<ref>{{cite web|title=ウィキペディア|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Plana_formula|publisher=en.wikipedia.org|access-date=2026-01-04}}</ref>)

==== 5. 結論 ====

以上より

∫0∞axΓ(x) dx=aea+a∫0∞e−axln⁡2x+π2 dx\int_{0}^{\infty}\frac{a^{x}}{\Gamma(x)}\,dx
= a e^{a}
+ a\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a x}}{\ln^{2}x+\pi^{2}}\,dx∫0∞Γ(x)axdx=aea+a∫0∞ln2x+π2e−axdx
が導かれる。

必要なら、上の 4 の部分を「どの変形でどの関数恒等式を使っているか」まで数式を全部つないで、途中式を省略せずに書く(ほぼMSEの式変形を a 付きに置き換えて追う)形で提示する。

== References ==
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