Editing Openai/69174844-9774-8012-8b69-32262ca5e35a (section)

==== 1. 群生成元的意义 ====

在 QFT 中说“光子是 U(1) 的生成元”，指的是：

U(α)=eiαQ,Q=电荷算符U(\alpha) = e^{i \alpha Q}, \quad Q = \text{电荷算符}U(α)=eiαQ,Q=电荷算符
* 这里的 QQQ 是 U(1) 群的生成元，表示电荷对称性。
* 光子对应的场 Aμ(x)A_\mu(x)Aμ(x) 是这个对称性的规范场。
* 换句话说，光子是“作用在带电场子上的量子”的媒介，它把电荷守恒的 U(1) 对称性转化为可传播的相互作用。

: 
# 量子化后的物理粒子

对矢势场 Aμ(x)A_\mu(x)Aμ(x) 做傅里叶展开：

Aμ(x)=∫d3p(2π)32Ep∑λ=±1[aλ(p)ϵμλ(p)e−ip⋅x+aλ†(p)ϵμλ∗(p)eip⋅x]A_\mu(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2 E_p} \sum_{\lambda=\pm1} 
\left[ a_\lambda(p) \epsilon_\mu^\lambda(p) e^{-i p\cdot x} + a_\lambda^\dagger(p) \epsilon_\mu^{\lambda*}(p) e^{i p\cdot x} \right]Aμ(x)=∫(2π)32Epd3pλ=±1∑[aλ(p)ϵμλ(p)e−ip⋅x+aλ†(p)ϵμλ∗(p)eip⋅x]
* aλ†(p)a_\lambda^\dagger(p)aλ†(p) 和 aλ(p)a_\lambda(p)aλ(p) 是光子升降算符。
* ϵμλ\epsilon_\mu^\lambdaϵμλ 是偏振矢量（helicity ±1）。
* 量子化后，每一个 aλ†(p)a_\lambda^\dagger(p)aλ†(p) 都创造一个具有动量 p\mathbf{p}p 和能量 E=∣p∣E = |\mathbf{p}|E=∣p∣ 的光子。

: