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=== Partimos de la acción (concretada): ===

S=∫d4x−g[116πGR+αgμν∇μΨ∗∇νΨ−V(C)−β(gμν∇μθ∇νθ−κC)2],S=\int d^4x\sqrt{-g}\Big[\frac{1}{16\pi G}R + \alpha g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Psi^*\nabla_\nu\Psi - V(C) - \beta\big(g^{\mu\nu}\nabla_\mu\theta\nabla_\nu\theta - \kappa C\big)^2\Big],S=∫d4x−g[16πG1R+αgμν∇μΨ∗∇νΨ−V(C)−β(gμν∇μθ∇νθ−κC)2],
con Ψ=C eiθ\Psi=\sqrt{C}\,e^{i\theta}Ψ=Ceiθ y elegimos V(C)=12mC2C2+λ4C4V(C)=\tfrac{1}{2}m_C^2 C^2 + \tfrac{\lambda}{4}C^4V(C)=21mC2C2+4λC4.

==== Calculamos ∇μΨ\nabla_\mu\Psi∇μΨ: ====

∇μΨ=12C−1/2∂μC eiθ+iC ∂μθ eiθ.\nabla_\mu\Psi = \frac{1}{2}C^{-1/2}\partial_\mu C\,e^{i\theta} + i\sqrt{C}\,\partial_\mu\theta\,e^{i\theta}.∇μΨ=21C−1/2∂μCeiθ+iC∂μθeiθ.
Entonces (usando gμν∇μΨ∗∇νΨg^{\mu\nu}\nabla_\mu\Psi^*\nabla_\nu\Psigμν∇μΨ∗∇νΨ):

gμν∇μΨ∗∇νΨ=14C(∂C)2+C (∂θ)2.g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Psi^*\nabla_\nu\Psi = \frac{1}{4C}(\partial C)^2 + C\,(\partial\theta)^2.gμν∇μΨ∗∇νΨ=4C1(∂C)2+C(∂θ)2.
(Se omiten términos de orden superior en derivadas cruzadas que se cancelan a primera orden al separar parte real/imag)

Por tanto el Lagrangiano de coherencia principal (cinético) es:

LΨ=α(14C(∂C)2+C(∂θ)2)−V(C).\mathcal{L}_\Psi = \alpha\left(\frac{1}{4C}(\partial C)^2 + C(\partial\theta)^2\right) - V(C).LΨ=α(4C1(∂C)2+C(∂θ)2)−V(C).
==== Lint=−β(gμν∂μθ∂νθ−κC)2.\mathcal{L}_{\text{int}} = -\beta\left(g^{\mu\nu}\partial_\mu\theta\partial_\nu\theta - \kappa C\right)^2.Lint=−β(gμν∂μθ∂νθ−κC)2. ====
Este término penaliza desvinculaciones entre gradientes de fase y la densidad de coherencia.

==== Fondo plano y estacionario: ====

gμν=ημν+hμν,C=C0+δC,θ=ωt+φ(x).g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\quad C=C_0+\delta C,\quad \theta=\omega t + \varphi(x).gμν=ημν+hμν,C=C0+δC,θ=ωt+φ(x).
Asumimos ∣hμν∣≪1, ∣δC∣≪C0, ∣φ∣≪1 |h_{\mu\nu}|\ll1,\ |\delta C|\ll C_0,\ |\varphi|\ll1∣hμν∣≪1, ∣δC∣≪C0, ∣φ∣≪1.

Expandimos a primer orden. Notas clave:
* (∂θ)2≈−ω2+2ω∂0φ+(∂φ)2+hμνω2δμ0δν0+⋯(\partial\theta)^2 \approx -\omega^2 + 2\omega\partial_0\varphi + (\partial\varphi)^2 + h^{\mu\nu}\omega^2\delta_\mu^0\delta_\nu^0 + \cdots(∂θ)2≈−ω2+2ω∂0φ+(∂φ)2+hμνω2δμ0δν0+⋯.
* El término (gμν∂μθ∂νθ−κC)2\left(g^{\mu\nu}\partial_\mu\theta\partial_\nu\theta - \kappa C\right)^2(gμν∂μθ∂νθ−κC)2 al expandir da primero una pieza cuadrática en δC\delta CδC y en φ\varphiφ y un término lineal que fija la condición de fondo: −β(−ω2−κC0)2+(lineales/perturbaciones).-\beta\left(-\omega^2 - \kappa C_0\right)^2 + \text{(lineales/perturbaciones)}.−β(−ω2−κC0)2+(lineales/perturbaciones).

Podemos fijar el fondo C0C_0C0 y ω\omegaω tal que el término de penalización se minimice, es decir imponiendo

ω2=κC0\omega^2 = \kappa C_0ω2=κC0
(como condición de sintonía de fondo).

==== La variación funcional respecto a θ\thetaθ da (tras agrupar términos y suponer fondo sintonizado): ====

αC0 □φ+4βω2 □φ−mφ2 φ=0,\alpha C_0\,\Box\varphi + 4\beta\omega^2\,\Box\varphi - m_\varphi^2\,\varphi = 0,αC0□φ+4βω2□φ−mφ2φ=0,
donde el término "masa" efectivo surge de expandir el cuadrado de interacción y de V′(C)V'(C)V′(C) acoplado, y puede escribirse como

mφ2=2βκ+α′(constantes que dependen de V′′(C0),f′(C0)).m_\varphi^2 = 2\beta\kappa + \alpha' \quad (\text{constantes que dependen de } V''(C_0), f'(C_0) ).mφ2=2βκ+α′(constantes que dependen de V′′(C0),f′(C0)).
Reordenando:

(αC0+4βω2) □φ=mφ2 φ.(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)\,\Box\varphi = m_\varphi^2\,\varphi.(αC0+4βω2)□φ=mφ2φ.
Para ondas planas φ∝ei(k⋅x−Ωt)\varphi\propto e^{i(\mathbf{k\cdot x}-\Omega t)}φ∝ei(k⋅x−Ωt), obtenemos la relación de dispersión:

(αC0+4βω2)(Ω2−∣k∣2)=mφ2.(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)(\Omega^2 - |\mathbf{k}|^2) = m_\varphi^2.(αC0+4βω2)(Ω2−∣k∣2)=mφ2.
Por tanto

Ω2(k)=∣k∣2+mφ2αC0+4βω2.\boxed{\Omega^2(\mathbf{k}) = |\mathbf{k}|^2 + \dfrac{m_\varphi^2}{\alpha C_0 + 4\beta\omega^2}.}Ω2(k)=∣k∣2+αC0+4βω2mφ2.
Esto muestra que los modos de fase φ\varphiφ tienen una masa efectiva y propagación modificada por la coherencia de fondo y el acoplamiento β\betaβ.

==== Obtenemos un campo con dinámica del tipo: ====

α□δC+MC2δC=Sφ,h,\alpha\Box\delta C + M_C^2\delta C = S_{\varphi,h},α□δC+MC2δC=Sφ,h,
con MC2=V′′(C0)M_C^2=V''(C_0)MC2=V′′(C0) y fuente Sφ,hS_{\varphi,h}Sφ,h que contiene términos del tipo C0(∂φ)2C_0(\partial\varphi)^2C0(∂φ)2 y combinaciones lineales con hμνh_{\mu\nu}hμν.

==== La variación respecto a gμνg_{\mu\nu}gμν da (en gauge armónico y lineal): ====

□hˉμν=−16πG(Tμνmat+Tμν(Ψ)+Tμνint),\Box \bar h_{\mu\nu} = -16\pi G \left(T_{\mu\nu}^{\text{mat}} + T_{\mu\nu}^{(\Psi)} + T_{\mu\nu}^{\text{int}}\right),□hˉμν=−16πG(Tμνmat+Tμν(Ψ)+Tμνint),
donde la porción relevante del tensor de coherencia tiene el orden de magnitud:

Tμν(Ψ)∼αC0 ∂μφ∂νφ+(teˊrminos en δC).T_{\mu\nu}^{(\Psi)} \sim \alpha C_0\,\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi + \text{(términos en }\delta C).Tμν(Ψ)∼αC0∂μφ∂νφ+(teˊrminos en δC).
Así, la amplitud de hμνh_{\mu\nu}hμν excitada por modulación de fase satisface (esquema):

hμν(Ω,k)∝16πGαC0 (∂φ)2(Ω,k)k2−Ω2+iϵ.h_{\mu\nu}(\Omega,\mathbf{k}) \propto 16\pi G \frac{\alpha C_0\,(\partial\varphi)^2(\Omega,\mathbf{k})}{k^2 - \Omega^2 + i\epsilon}.hμν(Ω,k)∝16πGk2−Ω2+iϵαC0(∂φ)2(Ω,k).
Interpretación física: modulaciones fuertes de fase en regiones de alta C0C_0C0 generan curvatura emergente proporcional a GαC0(∂φ)2G\alpha C_0(\partial\varphi)^2GαC0(∂φ)2.