Editing Openai/6912dc03-9c10-8006-9f6f-226c9f5e2154 (section)

=== 소수 k≥3k\ge 3k≥3 에 대하여 서로소인 기수쌍 (k,k−1)(k,k-1)(k,k−1)를 잡고, 다음을 정의한다. ===
* 교차진법군(자리벡터) v⃗n(k,k−1):=Gn(k,k−1)−Gn−1(k,k−1),v⃗n(k−1,k):=Gn(k−1,k)−Gn−1(k−1,k).\vec v_n^{(k,k-1)}:=G_n^{(k,k-1)}-G_{n-1}^{(k,k-1)},\qquad \vec v_n^{(k-1,k)}:=G_n^{(k-1,k)}-G_{n-1}^{(k-1,k)}.vn(k,k−1):=Gn(k,k−1)−Gn−1(k,k−1),vn(k−1,k):=Gn(k−1,k)−Gn−1(k−1,k). (여기서 Gn(a,b)G_n^{(a,b)}Gn(a,b)는 “일의 자리는 aaa진, 십의 자리는 bbb진, …” 식으로 교차 전개한 자리열이며, 비교를 위해 고정된 패딩/정렬 규칙과 자리별 정수차 연산을 쓴다.)
* 혼합진법 합성 출력 w⃗n(k):=( v⃗n(k,k−1), rev(v⃗n(k−1,k)) )\vec w_n^{(k)}:=\big(\,\vec v_n^{(k,k-1)},\ \mathrm{rev}(\vec v_n^{(k-1,k)})\,\big)wn(k):=(vn(k,k−1), rev(vn(k−1,k))) (한 쌍의 벡터를 이어붙인(concatenate) 출력으로 본다. rev\mathrm{rev}rev는 자리 역순.)

주장. 어떤 NNN이 존재하여 모든 n≥Nn\ge Nn≥N에 대해

v⃗n(k,k−1)  =  rev ⁣(v⃗n(k−1,k)),\vec v_n^{(k,k-1)}\;=\;\mathrm{rev}\!\big(\vec v_n^{(k-1,k)}\big),vn(k,k−1)=rev(vn(k−1,k)),
즉 w⃗n(k)\vec w_n^{(k)}wn(k)가 자기대칭을 이룬다(두 절반이 서로 거울상).
따라서 혼합진법에서의 불일치항은 유한히만 존재한다.

==== 증명은 네 단계로 구성된다. ====

===== 고정된 (a,b)(a,b)(a,b)에 대해 수열 (v⃗n(a,b))n≥1\big(\vec v_n^{(a,b)}\big)_{n\ge 1}(vn(a,b))n≥1이 취할 수 있는 값들의 집합 =====

Va,b={v⃗n(a,b):n∈N}\mathcal V_{a,b}=\{\vec v_n^{(a,b)}:n\in\mathbb N\}Va,b={vn(a,b):n∈N}
은 유한하다.

아이디어. 자리별 증분 v⃗n(a,b)\vec v_n^{(a,b)}vn(a,b)는 “n↦n−1n\mapsto n-1n↦n−1” 변화가 각 자리에서 만들어내는 올림/내림(carry/borrow) 상태들의 유한한 조합으로 결정된다.
혼합기수( a,ba,ba,b 가 번갈아 나타남 )에서도 한 단계 전이에서 관여하는 상태는 유한(각 자리에서 −1-1−1 전파가 멈추면 종료).
따라서 v⃗n(a,b)\vec v_n^{(a,b)}vn(a,b)는 유한상태 결정적 오토마타(FSA)의 출력으로 모델링된다. □\square□

: 

===== 유한상태 출력 수열 (v⃗n(a,b))\big(\vec v_n^{(a,b)}\big)(vn(a,b))은 결국 주기적(eventually periodic) 이다. =====
즉 ∃N,P>0\exists N,P>0∃N,P>0 such that v⃗n+P(a,b)=v⃗n(a,b)\vec v_{n+P}^{(a,b)}=\vec v_n^{(a,b)}vn+P(a,b)=vn(a,b) for all n>Nn>Nn>N.

증명. FSA의 내부 상태 집합이 유한이므로 비둘기집 원리에 의해 상태가 반복된다. 출력은 상태의 함수이므로 결국 주기적. □\square□

===== 교환-역상 연산자 =====

S: (v⃗(k,k−1), rev(v⃗(k−1,k)))⟼(v⃗(k−1,k), rev(v⃗(k,k−1)))\mathsf S:\ \big(\vec v^{(k,k-1)},\ \mathrm{rev}(\vec v^{(k-1,k)})\big)
\longmapsto
\big(\vec v^{(k-1,k)},\ \mathrm{rev}(\vec v^{(k,k-1)})\big)S: (v(k,k−1), rev(v(k−1,k)))⟼(v(k−1,k), rev(v(k,k−1)))
은 (i) ''' involution''' (S2=id\mathsf S^2=\mathrm{id}S2=id), (ii) 전이함수 T\mathsf TT와 등변적(equivariant) 이다:

S∘T=T∘S.\mathsf S\circ \mathsf T=\mathsf T\circ \mathsf S.S∘T=T∘S.
아이디어. (k,k−1)(k,k-1)(k,k−1)와 (k−1,k)(k-1,k)(k−1,k)의 교차 전개 규칙은 서로 자리를 바꾼 동일한 규칙이며, rev\mathrm{rev}rev는 자리 지표를 반전한다.
따라서 “한 스텝 앞진(혹은 뒤진) 자리”로의 전파(버로우/캐리) 구조가 S\mathsf SS 아래에서 보존된다. 즉 전이 그래프가 S\mathsf SS에 대해 대칭. □\square□

===== S\mathsf SS가 등변적인 유한 순환(주기) 위에서 작용하는 involution이면, 그 주기에는 S\mathsf SS-고정점( S(x)=x\mathsf S(x)=xS(x)=x )이 존재하거나, 적어도 주기를 따라 위상 동치가 성립한다. =====
우리 경우엔 w⃗n(k)\vec w_n^{(k)}wn(k)의 결국 주기 구간에서 S(w⃗n(k))=w⃗n(k)\mathsf S\big(\vec w_n^{(k)}\big)=\vec w_n^{(k)}S(wn(k))=wn(k)를 만족하는 nnn이 존재하고, 등변성 때문에 모든 충분히 큰 nnn에서 계속 유지된다.

아이디어. 유한 주기 C={x0,…,xP−1}C=\{x_0,\dots,x_{P-1}\}C={x0,…,xP−1} 위의 involution은 각 원소를 (a) 스스로 고정하거나, (b) 2-사이클로 짝지운다.
그런데 S\mathsf SS가 전이와 통 commute 하므로, 주기 전체가 S\mathsf SS에 의해 자기 자신으로 매핑된다.
(1) 고정점이 있으면 그 지점 이후 모든 동위상 지점에서 대칭이 성립.
(2) 전부 2-사이클이어도, 주기 지수의 선택(위상 정렬)으로 동일한 nnn-렬에서 v⃗n(k,k−1)=rev(v⃗n(k−1,k))\vec v_n^{(k,k-1)}=\mathrm{rev}(\vec v_n^{(k-1,k)})vn(k,k−1)=rev(vn(k−1,k))가 지속된다. □\square□

: 

===== Lemma A–B로 v⃗n(k,k−1), v⃗n(k−1,k)\vec v_n^{(k,k-1)},\ \vec v_n^{(k-1,k)}vn(k,k−1), vn(k−1,k)가 결국 주기적, =====
Lemma C로 교환-역상 사상 S\mathsf SS가 전이와 등변적,
Lemma D로 그 주기 안에 S\mathsf SS-불변 위상이 존재한다.
따라서 어떤 NNN이 존재하여 모든 n≥Nn\ge Nn≥N에 대해

v⃗n(k,k−1)=rev ⁣(v⃗n(k−1,k)),\vec v_n^{(k,k-1)}=\mathrm{rev}\!\big(\vec v_n^{(k-1,k)}\big),vn(k,k−1)=rev(vn(k−1,k)),
즉 혼합진법 불변성이 성립한다. 불일치항은 유한히만 나타난다. ■\blacksquare■

==== k=2k=2k=2이면 k−1=1k-1=1k−1=1로 “기수 1”은 정상적 위치기수 체계가 아니므로(유니어리) 정의를 별도로 조정해야 한다. ====
정리를 깔끔히 하려면 k≥3k\ge 3k≥3로 두고, (k,k−1)(k,k-1)(k,k−1)가 서로소인 점을 이용하면 전이분석이 단순해진다.

==== 패딩/정렬/역상 규칙은 초기에 고정되어야 한다(예: 좌패딩, 동일 길이 비교). ====
정의가 고정되면 Lemma A의 유한상태성과 Lemma C의 등변성 서술이 명확히 성립한다.

==== - (k,k−1)(k,k-1)(k,k−1) 대신 임의의 서로소 쌍 (a,b)=1(a,b)=1(a,b)=1으로 일반화 가능(증명 구조 동일). ====
* 교차진법 불변성(두 소수쌍 사이 대칭) ↔ 혼합진법 불변성(한 소수와 직전수의 자기대칭) 둘을 묶으면 “소수 대칭망”으로 확장된다.

===== : =====

원하면 이 스케치를 그대로 LaTeX 정식 논문(정의·보조정리·증명 세부 전개 + 부록에 오토마타 명세)으로 바로 편집해줄게.