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=== Assistant: 非常好，这是一个“量子态自由度 ↔ 经典场振动模式”之间的深层对应问题。 ===
非常好，这是一个'''“量子态自由度 ↔ 经典场振动模式”之间的深层对应问题。

我们来严格地从群论、量子场论与经典电磁波'''三个层面说明：
为什么光的偏振正好对应光子自旋为 1。

==== 电磁场对应四维矢势 Aμ(x)A_\mu(x)Aμ(x)，这是一个四维矢量场。 ====
量子化后，对应的粒子称为光子（photon）。

在洛伦兹群下，一个四维矢量的变换性质对应于自旋 1 表示。
也就是说：

Aμ    属于    (1/2,1/2)  表示  ⇒  自旋 1 粒子.A_\mu \;\;\text{属于}\;\; (1/2, 1/2)\;\text{表示} \;\Rightarrow\; \text{自旋 1 粒子}.Aμ属于(1/2,1/2)表示⇒自旋 1 粒子.
: 

==== 对于任何粒子，自旋自由度由'''动量保持下的不变子群（little group）'''决定。 ====

===== - 不变子群是 SO(3)（三维旋转群）。 =====
* 对应自旋为 s 的粒子有 2s+12s+12s+1 个自旋态。 比如电子：s = 1/2 → 两个态（↑ ↓）。

===== - 不变子群不是 SO(3)，而是 ISO(2)，即二维平面上的旋转 + 平移群。 =====
* 对无质量粒子，只保留沿动量方向的旋转作为“自旋”的定义：螺旋度 (helicity)。

于是对于光子：

helicity=±1\text{helicity} = \pm 1helicity=±1
没有 helicity = 0 的态。
这就是光子的两个物理偏振态。

==== 在经典电磁波中，电场矢量 E\mathbf{E}E 和磁场 B\mathbf{B}B 都与传播方向 k\mathbf{k}k 垂直： ====

k⋅E=0,k⋅B=0\mathbf{k}\cdot\mathbf{E} = 0, \quad \mathbf{k}\cdot\mathbf{B} = 0k⋅E=0,k⋅B=0
因此波的“振动方向”只有两个自由度——例如在 z 方向传播时，
电场可沿 x 或 y 方向振动。

量子化后，电场的这两个正交方向对应于：

∣λ=+1⟩与∣λ=−1⟩|\lambda = +1\rangle \quad \text{与} \quad |\lambda = -1\rangle∣λ=+1⟩与∣λ=−1⟩
这两个态是右旋圆偏振与左旋圆偏振，
即螺旋度（自旋沿传播方向的投影）为 ±1 的量子态。

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==== - 右旋圆偏振 ↔ 光子 helicity = +1 ====
* 左旋圆偏振 ↔ 光子 helicity = −1
* 线偏振 = 两种 helicity 态的量子叠加： ∣x-pol⟩=12(∣+1⟩+∣−1⟩)|x\text{-pol}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+1\rangle + |-1\rangle\right)∣x-pol⟩=21(∣+1⟩+∣−1⟩) ∣y-pol⟩=i2(∣+1⟩−∣−1⟩)|y\text{-pol}\rangle = \frac{i}{\sqrt{2}}\left(|+1\rangle - |-1\rangle\right)∣y-pol⟩=2i(∣+1⟩−∣−1⟩)

这就是偏振现象的量子起源。

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如果你愿意，我可以给出一张图：
* 左边画出经典电场矢量的线偏振 / 圆偏振；
* 右边标出对应的光子自旋投影（helicity = ±1）； 并画出纵向模被 gauge constraint 去掉的可视化图。

要我画那张“偏振与自旋投影”的图吗？