Editing Openai/69143373-dd04-800c-b816-c177b3629d06 (section)

==== Variando respecto a θ\thetaθ y linealizando obtenemos (esquema): ====

αC0 □φ+4βω2 □φ−mφ2 φ=0,\alpha C_0\,\Box \varphi + 4\beta\omega^2\,\Box \varphi - m_\varphi^2\,\varphi = 0,αC0□φ+4βω2□φ−mφ2φ=0,
donde

mφ2≡2βκ+contribuciones de V′(C0),f′(C0).m_\varphi^2 \equiv 2\beta\kappa + \text{contribuciones de }V'(C_0),f'(C_0).mφ2≡2βκ+contribuciones de V′(C0),f′(C0).
(Nota: derivación completa da factores numéricos adicionales; las constantes de acoplamiento emergen de derivadas de V,fV,fV,f.)

Reordeno:

(αC0+4βω2) (−∂t2+∇2)φ=mφ2 φ.(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)\,(-\partial_t^2 + \nabla^2)\varphi = m_\varphi^2\,\varphi.(αC0+4βω2)(−∂t2+∇2)φ=mφ2φ.
Buscando soluciones de plano φ∝ei(k⋅x−Ωt) \varphi\propto e^{i(\mathbf{k\cdot x}-\Omega t)}φ∝ei(k⋅x−Ωt) conduce a la relación de dispersión implícita:

(αC0+4βω2)(Ω2−∣k∣2)=mφ2.(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)(\Omega^2 - |\mathbf{k}|^2) = m_\varphi^2.(αC0+4βω2)(Ω2−∣k∣2)=mφ2.
===== Si el acoplamiento en fase es débil (o βω2\beta\omega^2βω2 pequeño comparado con αC0\alpha C_0αC0), aproximamos: =====

Ω2(k)≈∣k∣2+mφ2αC0+4βω2.\Omega^2(k) \approx |\mathbf{k}|^2 + \frac{m_\varphi^2}{\alpha C_0 + 4\beta\omega^2}.Ω2(k)≈∣k∣2+αC0+4βω2mφ2.
Si mφ2>0m_\varphi^2>0mφ2>0 la fase tiene modo con masa efectiva meff2=mφ2/(αC0+4βω2)m_{\text{eff}}^2=m_\varphi^2/(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)meff2=mφ2/(αC0+4βω2).

===== Para estabilidad (no modos con Im(Ω)>0\mathrm{Im}(\Omega)>0Im(Ω)>0) necesitamos: =====
# αC0+4βω2>0\alpha C_0 + 4\beta\omega^2 > 0αC0+4βω2>0 (coeficiente cinético positivo).
# mφ2≥0m_\varphi^2 \ge 0mφ2≥0 (evitar tachiones a primer orden).

Esas igualdades imponen límites en parámetros α,β,κ,mC,λ\alpha,\beta,\kappa,m_C,\lambdaα,β,κ,mC,λ.