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Definimos

Ψ(x)=C(x)eiθ(x),C≥0, θ∈R.\Psi(x)=\sqrt{C(x)} e^{i\theta(x)},\qquad C\ge0,\ \theta\in\mathbb{R}.Ψ(x)=C(x)eiθ(x),C≥0, θ∈R.
Acción (repetida):

S=∫d4x−g[116πGR+αgμν∇μΨ∗∇νΨ−V(C)−β(gμν∇μθ∇νθ−κf(C))2].S=\int d^4x\sqrt{-g}\Big[\frac{1}{16\pi G}R + \alpha g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Psi^*\nabla_\nu\Psi - V(C) - \beta\big(g^{\mu\nu}\nabla_\mu\theta\nabla_\nu\theta - \kappa f(C)\big)^2\Big].S=∫d4x−g[16πG1R+αgμν∇μΨ∗∇νΨ−V(C)−β(gμν∇μθ∇νθ−κf(C))2].
Elegimos para concreción:

V(C)=12mC2C2+λ4C4,f(C)=C.V(C)=\frac{1}{2}m_C^2 C^2 + \frac{\lambda}{4}C^4,\qquad f(C)=C.V(C)=21mC2C2+4λC4,f(C)=C.
==== Fondo plano y estacionario: ====

gμν=ημν+hμν,C=C0+δC,θ=ωt+φ(x).g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu},\qquad C=C_0+\delta C,\qquad \theta=\omega t + \varphi(x).gμν=ημν+hμν,C=C0+δC,θ=ωt+φ(x).
Asumimos ∣hμν∣≪1, ∣δC∣≪C0, ∣φ∣≪1 |h_{\mu\nu}| \ll 1,\ |\delta C| \ll C_0,\ |\varphi|\ll1∣hμν∣≪1, ∣δC∣≪C0, ∣φ∣≪1.

==== Calcular (a primer orden) los términos dominantes: ====
* ∇μΨ≈12C0−1/2∂μδC eiωt+iC0(ωδμ0+∂μφ)eiωt\nabla_\mu\Psi \approx \tfrac{1}{2}C_0^{-1/2}\partial_\mu\delta C\, e^{i\omega t} + i\sqrt{C_0}(\omega\delta^0_\mu + \partial_\mu\varphi)e^{i\omega t}∇μΨ≈21C0−1/2∂μδCeiωt+iC0(ωδμ0+∂μφ)eiωt.
* gμν∇μθ∇νθ≈−ω2+2ω∂0φ+(∂φ)2+hμνω2δμ0δν0+⋯g^{\mu\nu}\nabla_\mu\theta\nabla_\nu\theta \approx -\omega^2 + 2\omega\partial_0\varphi + (\partial\varphi)^2 + h^{\mu\nu}\omega^2\delta^0_\mu\delta^0_\nu + \cdotsgμν∇μθ∇νθ≈−ω2+2ω∂0φ+(∂φ)2+hμνω2δμ0δν0+⋯.

==== Variando respecto a θ\thetaθ y linealizando obtenemos (esquema): ====

αC0 □φ+4βω2 □φ−mφ2 φ=0,\alpha C_0\,\Box \varphi + 4\beta\omega^2\,\Box \varphi - m_\varphi^2\,\varphi = 0,αC0□φ+4βω2□φ−mφ2φ=0,
donde

mφ2≡2βκ+contribuciones de V′(C0),f′(C0).m_\varphi^2 \equiv 2\beta\kappa + \text{contribuciones de }V'(C_0),f'(C_0).mφ2≡2βκ+contribuciones de V′(C0),f′(C0).
(Nota: derivación completa da factores numéricos adicionales; las constantes de acoplamiento emergen de derivadas de V,fV,fV,f.)

Reordeno:

(αC0+4βω2) (−∂t2+∇2)φ=mφ2 φ.(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)\,(-\partial_t^2 + \nabla^2)\varphi = m_\varphi^2\,\varphi.(αC0+4βω2)(−∂t2+∇2)φ=mφ2φ.
Buscando soluciones de plano φ∝ei(k⋅x−Ωt) \varphi\propto e^{i(\mathbf{k\cdot x}-\Omega t)}φ∝ei(k⋅x−Ωt) conduce a la relación de dispersión implícita:

(αC0+4βω2)(Ω2−∣k∣2)=mφ2.(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)(\Omega^2 - |\mathbf{k}|^2) = m_\varphi^2.(αC0+4βω2)(Ω2−∣k∣2)=mφ2.
===== Si el acoplamiento en fase es débil (o βω2\beta\omega^2βω2 pequeño comparado con αC0\alpha C_0αC0), aproximamos: =====

Ω2(k)≈∣k∣2+mφ2αC0+4βω2.\Omega^2(k) \approx |\mathbf{k}|^2 + \frac{m_\varphi^2}{\alpha C_0 + 4\beta\omega^2}.Ω2(k)≈∣k∣2+αC0+4βω2mφ2.
Si mφ2>0m_\varphi^2>0mφ2>0 la fase tiene modo con masa efectiva meff2=mφ2/(αC0+4βω2)m_{\text{eff}}^2=m_\varphi^2/(\alpha C_0 + 4\beta\omega^2)meff2=mφ2/(αC0+4βω2).

===== Para estabilidad (no modos con Im(Ω)>0\mathrm{Im}(\Omega)>0Im(Ω)>0) necesitamos: =====
# αC0+4βω2>0\alpha C_0 + 4\beta\omega^2 > 0αC0+4βω2>0 (coeficiente cinético positivo).
# mφ2≥0m_\varphi^2 \ge 0mφ2≥0 (evitar tachiones a primer orden).

Esas igualdades imponen límites en parámetros α,β,κ,mC,λ\alpha,\beta,\kappa,m_C,\lambdaα,β,κ,mC,λ.

==== Linealizada da algo semejante a un oscilador acoplado: ====

α□ δC+MC2 δC=Sφ,h(x),\alpha\Box\,\delta C + M_C^2\,\delta C = S_{\varphi,h}(x),α□δC+MC2δC=Sφ,h(x),
donde MC2=V′′(C0)M_C^2 = V''(C_0)MC2=V′′(C0) y el lado derecho son fuentes que dependen de (∂φ)2(\partial\varphi)^2(∂φ)2 y hμνh_{\mu\nu}hμν.

==== Linealizando GμνG_{\mu\nu}Gμν y usando gauges estándar (harmonic gauge), el perturbación hμνh_{\mu\nu}hμν satisface ====

□hˉμν=−16πG(δTμνΨ+δTμνint+δTμνmat).\Box \bar h_{\mu\nu} = -16\pi G \left(\delta T_{\mu\nu}^{\Psi} + \delta T_{\mu\nu}^{\text{int}} + \delta T_{\mu\nu}^\text{mat}\right).□hˉμν=−16πG(δTμνΨ+δTμνint+δTμνmat).
La pieza dominante del tensor-energía de coherencia en fondo plano es proporcional a αC0 ∂μφ∂νφ\alpha C_0\,\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphiαC0∂μφ∂νφ y a términos en δC\delta CδC. En Fourier espacio, fuentes con componentes (Ω,k)(\Omega,\mathbf{k})(Ω,k) excitan hμνh_{\mu\nu}hμν en las mismas frecuencias/longitudes de onda, con amplitud escalada por GαC0G\alpha C_0GαC0.

Consecuencia física: modulaciones de fase agresivas (alta CCC y grandes ∂φ\partial\varphi∂φ) producen curvatura mesoscópica proporcional a GαC0(∂φ)2G\alpha C_0(\partial\varphi)^2GαC0(∂φ)2.