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===== 现在我们要求相位变换允许在时空中“变化”： =====

ψ(x)→eiα(x)ψ(x)\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x)ψ(x)→eiα(x)ψ(x)
这是局域 U(1) 对称性（local gauge symmetry）。
问题：原来的导数项不再不变，因为

∂μψ→eiα(x)[∂μ+i(∂μα)]ψ\partial_\mu \psi \rightarrow e^{i\alpha(x)}\big[\partial_\mu + i(\partial_\mu \alpha)\big]\psi∂μψ→eiα(x)[∂μ+i(∂μα)]ψ
多出了 ∂μα\partial_\mu\alpha∂μα 项。

为了恢复不变性，我们必须引入一个新的场 Aμ(x)A_\mu(x)Aμ(x)，定义

Dμ≡∂μ+ieAμD_\mu \equiv \partial_\mu + i e A_\muDμ≡∂μ+ieAμ
并让 AμA_\muAμ 在局域变换下相应地变化：

Aμ(x)→Aμ(x)−1e∂μα(x)A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) - \frac{1}{e}\partial_\mu \alpha(x)Aμ(x)→Aμ(x)−e1∂μα(x)
于是整个拉格朗日：

L=ψˉ(iγμDμ−m)ψ\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psiL=ψˉ(iγμDμ−m)ψ
在局域 U(1) 对称下保持不变。

👉 这个引入的新场 AμA_\muAμ，就是电磁势，电磁相互作用的载体。