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=== Assistant: 这个问题问得非常深，实际上你触及到了规范对称性（U1、规范场的几何起源、以及光子无质量的根本原因这三层物理逻辑。我们分成两个部分讲： ===
这个问题问得非常深，实际上你触及到了规范对称性（U(1))、规范场的几何起源、以及光子无质量的根本原因这三层物理逻辑。我们分成两个部分讲：

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在量子力学中，一个自由电子场（狄拉克场）满足

L=ψˉ(iγμ∂μ−m)ψ\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psiL=ψˉ(iγμ∂μ−m)ψ
这个拉格朗日密度在全局相位变换

ψ(x)→eiαψ(x)\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha}\psi(x)ψ(x)→eiαψ(x)
下是不变的。
这是一个 全局 U(1) 对称性，对应 Noether 守恒量：

Jμ=ψˉγμψ,∂μJμ=0J^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi,\quad \partial_\mu J^\mu = 0Jμ=ψˉγμψ,∂μJμ=0
也就是电荷守恒。

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===== 现在我们要求相位变换允许在时空中“变化”： =====

ψ(x)→eiα(x)ψ(x)\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x)ψ(x)→eiα(x)ψ(x)
这是局域 U(1) 对称性（local gauge symmetry）。
问题：原来的导数项不再不变，因为

∂μψ→eiα(x)[∂μ+i(∂μα)]ψ\partial_\mu \psi \rightarrow e^{i\alpha(x)}\big[\partial_\mu + i(\partial_\mu \alpha)\big]\psi∂μψ→eiα(x)[∂μ+i(∂μα)]ψ
多出了 ∂μα\partial_\mu\alpha∂μα 项。

为了恢复不变性，我们必须引入一个新的场 Aμ(x)A_\mu(x)Aμ(x)，定义

Dμ≡∂μ+ieAμD_\mu \equiv \partial_\mu + i e A_\muDμ≡∂μ+ieAμ
并让 AμA_\muAμ 在局域变换下相应地变化：

Aμ(x)→Aμ(x)−1e∂μα(x)A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) - \frac{1}{e}\partial_\mu \alpha(x)Aμ(x)→Aμ(x)−e1∂μα(x)
于是整个拉格朗日：

L=ψˉ(iγμDμ−m)ψ\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psiL=ψˉ(iγμDμ−m)ψ
在局域 U(1) 对称下保持不变。

👉 这个引入的新场 AμA_\muAμ，就是电磁势，电磁相互作用的载体。

===== U(1) 是所有复相位 eiθe^{i\theta}eiθ 的群，其生成元是一个单一的厄米算符 QQQ，满足： =====

eiθQψ=eiqθψe^{i\theta Q} \psi = e^{iq\theta}\psieiθQψ=eiqθψ
这里 qqq 是该场的“电荷”。

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这就是为什么我们说：

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（在非阿贝尔情形，SU(2)SU(2)SU(2) 有 3 个生成元 → 三种 W 玻色子；
SU(3)SU(3)SU(3) 有 8 个 → 八个胶子。）

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电磁场的动力学项写为：

LEM=−14FμνFμν,Fμν=∂μAν−∂νAμ\mathcal{L}_{EM} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \quad 
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\muLEM=−41FμνFμν,Fμν=∂μAν−∂νAμ
这个形式在规范变换下保持不变，因为导数的差消掉了 ∂μα\partial_\mu\alpha∂μα 项。

===== 如果人为添加一项 12m2AμAμ\frac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu21m2AμAμ， =====
那么在规范变换下：

Aμ→Aμ−1e∂μα(x)A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu \alpha(x)Aμ→Aμ−e1∂μα(x)
这项就会多出交叉项：

m2AμAμ→m2(Aμ−1e∂μα)(Aμ−1e∂μα)m^2 A_\mu A^\mu \to m^2 \left(A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha\right)
\left(A^\mu - \frac{1}{e}\partial^\mu\alpha\right)m2AμAμ→m2(Aμ−e1∂μα)(Aμ−e1∂μα)
会产生额外的 ∂μα\partial_\mu \alpha∂μα 项，破坏规范不变性。
因此，局域 U(1) 对称性禁止出现质量项。

===== - 四维矢势 AμA_\muAμ 有 4 个分量。 =====
* 规范自由度允许我们去掉 1 个（例如洛伦兹规范）。
* 质量为零意味着传播方程： □Aμ=0,∂μAμ=0\Box A_\mu = 0, \quad \partial_\mu A^\mu = 0□Aμ=0,∂μAμ=0 只剩 2 个横向偏振态。
* 如果有质量项，无法再施加规范条件， 会多出一个纵向偏振模式（3 个自由度），但那已破坏规范对称性。

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===== 在电弱统一理论中，规范群是 SU(2)L×U(1)YSU(2)_L \times U(1)_YSU(2)L×U(1)Y。 =====
这些规范玻色子一开始都是无质量的，但通过自发对称性破缺（Higgs 机制），
其中三个组合吸收了希格斯场的 Goldstone 模式，获得质量（成为 W⁺、W⁻、Z⁰），
剩下未破缺的组合对应的无质量规范场就是光子。

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如果你希望，我可以再画一个：
* 左边是“全局 U(1)”的相位圆；
* 右边是“局域化后引入 Aμ”的几何图（纤维丛意义下的 connection）； 并标出质量项为何破坏 gauge invariance。

是否需要我画那张图？