Editing Openai/695b95f4-f6a4-8004-9b8f-6d3605c65598 (section)

=== Assistant: Висновок 1–2 рядки. ===
Висновок (1–2 рядки).
Якобіан — це матриця, яка каже: наскільки швидко зміниться швидкість системи x˙\dot{\mathbf x}x˙, якщо трохи змінити стан x\mathbf xx. Він потрібен, щоб перевірити стійкість рівноваги: чи малі відхилення затухають, чи розганяються.

==== Факти/кроки ====

===== 1) Визначення (для ODE) =====

Нехай система:

x˙=f(x,t)\dot{\mathbf x} = \mathbf f(\mathbf x,t)x˙=f(x,t)
де x∈Rn\mathbf x \in \mathbb R^nx∈Rn, f:Rn→Rn\mathbf f:\mathbb R^n\to \mathbb R^nf:Rn→Rn.

[Факт] Якобіан J\mathbf JJ по змінній x\mathbf xx:

J(x,t)=∂f∂x=(∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn)\mathbf J(\mathbf x,t)=\frac{\partial \mathbf f}{\partial \mathbf x}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}
\end{pmatrix}J(x,t)=∂x∂f=∂x1∂f1⋮∂x1∂fn⋯⋱⋯∂xn∂f1⋮∂xn∂fn
Тобто елемент Jij=∂fi∂xjJ_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}Jij=∂xj∂fi.

Інтуїція: рядок iii — як реагує x˙i\dot x_ix˙i; стовпець jjj — на зміну xjx_jxj.

===== 2) Навіщо він у стійкості рівноваги =====

Нехай є рівновага x\''\mathbf x^\''x\'' така, що f(x\'',t)=0\mathbf f(\mathbf x^\'',t)=0f(x\'',t)=0 (для автономної системи x˙=f(x) \dot{\mathbf x}=\mathbf f(\mathbf x)x˙=f(x)).

Беремо мале відхилення: x=x\''+δx\mathbf x = \mathbf x^\'' + \delta\mathbf xx=x\*+δx.

[Факт] Лінеаризація:

δx˙≈J(x\'') δx\delta\dot{\mathbf x} \approx \mathbf J(\mathbf x^\'')\,\delta\mathbf xδx˙≈J(x\*)δx
Далі дивляться на власні значення λk\lambda_kλk матриці J(x\'')\mathbf J(\mathbf x^\'')J(x\*):
* [Факт] Якщо для всіх kkk: Re(λk)<0\mathrm{Re}(\lambda_k) < 0Re(λk)<0, то відхилення затухають → рівновага асимптотично стійка.
* [Факт] Якщо існує λ\lambdaλ з Re(λ)>0\mathrm{Re}(\lambda) > 0Re(λ)>0, то відхилення ростуть → рівновага нестійка.
* [Факт] Якщо Re(λ)=0\mathrm{Re}(\lambda)=0Re(λ)=0 для когось, тест “не вирішує” (потрібні вищі порядки/інший аналіз).

===== 3) Мікро-приклад на 2 змінних (щоб “відчути”) =====

Система:

x˙=f(x,y),y˙=g(x,y)\dot x = f(x,y),\quad \dot y = g(x,y)x˙=f(x,y),y˙=g(x,y)
[Факт] Якобіан:

J=(∂f∂x∂f∂y∂g∂x∂g∂y)\mathbf J=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{pmatrix}J=(∂x∂f∂x∂g∂y∂f∂y∂g)
* Діагональ — “самовплив” (x на свою швидкість, y на свою).
* Позадіагональні — “перехресний вплив” (y на x˙\dot xx˙, x на y˙\dot yy˙). Саме ці перехресні штуки часто народжують цикли/осциляції/нестійкість.

===== 4) Якобіан для твого “цивілізаційного” вигляду =====

Якщо ти маєш:

K˙=A(K)E−Δ(K)\dot{\mathbf K} = \mathbf A(\mathbf K)\mathbf E - \mathbf\Delta(\mathbf K)K˙=A(K)E−Δ(K)
то

J(K)=∂∂K(A(K)E)  −  ∂Δ(K)∂K\mathbf J(\mathbf K)=\frac{\partial}{\partial \mathbf K}\big(\mathbf A(\mathbf K)\mathbf E\big)\;-\;\frac{\partial \mathbf\Delta(\mathbf K)}{\partial \mathbf K}J(K)=∂K∂(A(K)E)−∂K∂Δ(K)
Частий простий випадок: A\mathbf AA стала, Δ(K)=ΓK\mathbf\Delta(\mathbf K)=\mathbf\Gamma \mathbf KΔ(K)=ΓK.
Тоді:

K˙=AE−ΓK⇒J=−Γ\dot{\mathbf K}=\mathbf A\mathbf E - \mathbf\Gamma\mathbf K \quad\Rightarrow\quad \mathbf J = -\mathbf\GammaK˙=AE−ΓK⇒J=−Γ
* [Факт] Якщо Γ\mathbf\GammaΓ має додатні “втрати” на діагоналі (або позитивно визначена), то −Γ-\mathbf\Gamma−Γ дає від’ємні власні значення → стійко.

===== 5) Планетарна мережа цивілізацій: блок-Якобіан =====

Нехай NNN блоків і стан:

X=(K1,K2,…,KN)\mathbf X = (\mathbf K_1,\mathbf K_2,\ldots,\mathbf K_N)X=(K1,K2,…,KN)
Тоді J\mathbf JJ стає блок-матрицею:
* [Факт] Діагональні блоки Jii=∂K˙i/∂KiJ_{ii}=\partial \dot{\mathbf K}_i/\partial \mathbf K_iJii=∂K˙i/∂Ki — внутрішня динаміка + “самознос”.
* [Факт] Позадіагональні блоки Jij=∂K˙i/∂KjJ_{ij}=\partial \dot{\mathbf K}_i/\partial \mathbf K_jJij=∂K˙i/∂Kj — вплив цивілізації jjj на iii (торгівля, конфлікт, технологічний перелив, санкції).

Ключова ідея: стійкість залежить не лише від “здоров’я” кожного вузла, а й від того, чи мережа зв’язків діє як демпфер (гасить), чи як підсилювач (розганяє).

==== Джерело / підтвердження ====

[Факт] Визначення якобіана, лінеаризація, критерій за власними значеннями — стандартний базис теорії динамічних систем та ОДУ (без прив’язки до конкретних емпіричних даних).
Дата перевірки: 2026-01-05.