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=== Assistant: とても良い質問です。 ===
とても良い質問です。
あなたが挙げてくださった基底の定義：

B:={⋂i=1nUi  |  Ui∈fλi, λ1,…,λn∈Λ, n<∞}\mathcal{B} := \left\{ \bigcap_{i=1}^n U_i \;\middle|\; U_i \in f_{\lambda_i},\ \lambda_1,\dots,\lambda_n \in \Lambda,\ n < \infty \right\}B:={i=1⋂nUiUi∈fλi, λ1,…,λn∈Λ, n<∞}
と

⋃λ∈Λfλ\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_\lambdaλ∈Λ⋃fλ
との関係がどうなっているか、そして「∪λ fλ が基底の一部」とはどういう意味か、という点を丁寧に説明します。

==== ⋃λ∈Λfλ は B の構成素材（生成元）です。\boxed{ ====
\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_\lambda
}
\text{ は }
\boxed{
\mathcal{B}
}
\text{ の構成素材（生成元）です。}λ∈Λ⋃fλ は B の構成素材（生成元）です。
* ∪λ fλ は B\mathcal{B}B に含まれます（部分集合）： ⋃λ∈Λfλ⊂B\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_\lambda \subset \mathcal{B}λ∈Λ⋃fλ⊂B ただし右辺の B\mathcal{B}B の要素は、左辺の集合を有限個交差して作ったものも含みます。
* B\mathcal{B}B のすべての要素は、∪λ fλ の要素を有限個交差したものでできています。

==== <syntaxhighlight>      ∪λ fλ   （1次元的に制限された集合たち） ====
         │
         │（有限個交差）
         ↓
      𝔅 = { ⋂ U_i | U_i ∈ fλ_i } （3次元的に制限された集合も含む）
         ↓
     開集合系（この𝔅の合併で全部生成できる）

</syntaxhighlight>

==== あなたの質問： ====

: 

👉 答え：はい、書き換えられます。

具体的に：

B={⋂i=1nUi  |  Ui∈⋃λ∈Λfλ, n<∞}\mathcal{B} = \left\{ \bigcap_{i=1}^n U_i \;\middle|\; U_i \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_\lambda,\ n < \infty \right\}B={i=1⋂nUiUi∈λ∈Λ⋃fλ, n<∞}
このように言い換えることができます。なぜなら：
* 各 fλf_\lambdafλ は集合族
* ∪λ fλ はその「全部の要素」を集めた集合族
* よって「U₁, ..., Uₙ を ∪λ fλ から取ってきて有限個交差する」という構成が同じになる

つまり：

B={⋂i=1nUi  |  Ui∈⋃λ∈Λfλ, n<∞}\boxed{
\mathcal{B} = \left\{ \bigcap_{i=1}^n U_i \;\middle|\; U_i \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_\lambda,\ n < \infty \right\}
}B={i=1⋂nUiUi∈λ∈Λ⋃fλ, n<∞}

==== - ∪λ fλ は「方向ごとの部分開集合」（1方向だけ制限した箱） ====
* それを交差してできるのが B\mathcal{B}B（複数方向に制限した箱）
* B\mathcal{B}B が積位相の基底
* ∪λ fλ は B\mathcal{B}B を構成する素材であり、「基底の一部」というのはこの意味

==== - ∪λ fλ の要素の例： - (0,1)×R×R∈f1(0,1) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \in f_1(0,1)×R×R∈f1 - R×(2,3)×R∈f2\mathbb{R} \times (2,3) \times \mathbb{R} \in f_2R×(2,3)×R∈f2 - R×R×(−5,−4)∈f3\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times (-5,-4) \in f_3R×R×(−5,−4)∈f3 ====
* それらを交差すると： (0,1)×(2,3)×(−5,−4)∈B(0,1) \times (2,3) \times (-5,-4) \in \mathcal{B}(0,1)×(2,3)×(−5,−4)∈B

これは ∪λ fλ の要素同士の交差で得られたものです。

ご希望があれば、無限積における違いや箱位相との比較も扱えます！
この部分でもう少し掘り下げたい点があれば、ぜひ教えてください。