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=== Tomamos la acción propuesta (resumen): ===

S=∫d4x−g[116πGR+αgμν∇μΨ∗∇νΨ−V(C)−β(gμν∇μθ∇νθ−κf(C))2+Lmat].S = \int d^4x\sqrt{-g}\left[\frac{1}{16\pi G}R + \alpha g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Psi^*\nabla_\nu\Psi - V(C) - \beta\left(g^{\mu\nu}\nabla_\mu\theta\nabla_\nu\theta - \kappa f(C)\right)^2 + \mathcal{L}_{\text{mat}}\right].S=∫d4x−g[16πG1R+αgμν∇μΨ∗∇νΨ−V(C)−β(gμν∇μθ∇νθ−κf(C))2+Lmat].
Escribimos Ψ=C eiθ\Psi=\sqrt{C}\,e^{i\theta}Ψ=Ceiθ. Para linealizar, expandimos alrededor de un fondo plano y estacionario:
* Fondo: gμν=ημν+hμνg_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}gμν=ημν+hμν con ∣hμν∣≪1|h_{\mu\nu}|\ll1∣hμν∣≪1.
* Coherencia de fondo: C=C0+δCC=C_0 + \delta CC=C0+δC, θ=ωt+φ\theta = \omega t + \varphiθ=ωt+φ con ∣δC∣≪C0|\delta C| \ll C_0∣δC∣≪C0, ∣φ∣≪1|\varphi| \ll 1∣φ∣≪1.

A primer orden en perturbaciones:
# Expandir Ψ\PsiΨ y sus derivadas:

∇μΨ≈12C0−1/2∂μδC eiωt+iC0(ωδμ0+∂μφ)eiωt.\nabla_\mu\Psi \approx \frac{1}{2}C_0^{-1/2}\partial_\mu \delta C\, e^{i\omega t} + i\sqrt{C_0}(\omega \delta^0_\mu + \partial_\mu\varphi)e^{i\omega t}.∇μΨ≈21C0−1/2∂μδCeiωt+iC0(ωδμ0+∂μφ)eiωt.
# El término de interacción, linealizado, produce términos proporcionales a:

(ηρσ(ωδρ0+∂ρφ)(ωδσ0+∂σφ)−κf(C0)−κf′(C0)δC).\left( \eta^{\rho\sigma}(\omega\delta^0_\rho + \partial_\rho\varphi)(\omega\delta^0_\sigma + \partial_\sigma\varphi) - \kappa f(C_0) - \kappa f'(C_0)\delta C \right).(ηρσ(ωδρ0+∂ρφ)(ωδσ0+∂σφ)−κf(C0)−κf′(C0)δC).
# Ecuaciones lineales acopladas (esquema):
* Para hμνh_{\mu\nu}hμν: δGμν=8πG(δTμνΨ+δTμνint)\delta G_{\mu\nu} = 8\pi G(\delta T_{\mu\nu}^{\Psi} + \delta T_{\mu\nu}^{\text{int}})δGμν=8πG(δTμνΨ+δTμνint).
* Para φ\varphiφ: una ecuación de onda con término de masa efectivo inducido por el acoplamiento β\betaβ:

αC0□φ+4βω2(□φ)−mφ2φ=0,\alpha C_0 \Box \varphi + 4\beta \omega^2 (\Box \varphi) - m_\varphi^2 \varphi = 0,αC0□φ+4βω2(□φ)−mφ2φ=0,
con mφ2m_\varphi^2mφ2 dependiente de f′(C0)f'(C_0)f′(C0) y del fondo.
* Para δC\delta CδC: un oscilador amortiguado:

α□δC+MC2δC+acoples a φ, hμν=0.\alpha \Box \delta C + M_C^2 \delta C + \text{acoples a }\varphi,\ h_{\mu\nu} = 0.α□δC+MC2δC+acoples a φ, hμν=0.
El mensaje clave: las perturbaciones de fase φ\varphiφ y amplitud δC\delta CδC generan términos en el tensor energía-momento que actúan como fuente de curvatura hμνh_{\mu\nu}hμν. En el régimen donde el término de interacción minimiza su penalización, las ecuaciones se simplifican a condiciones de resonancia entre φ\varphiφ y hμνh_{\mu\nu}hμν.