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* 态空间结构：量子态属于希尔伯特空间。
* 内积与算符：⟨ψ∣ϕ⟩\langle \psi | \phi \rangle⟨ψ∣ϕ⟩，O^\hat{O}O^ 的厄米性。
* 张量积结构：多粒子态 ∣p1,p2,...⟩=∣p1⟩⊗∣p2⟩|p_1, p_2, ... \rangle = |p_1\rangle\otimes|p_2\rangle∣p1,p2,...⟩=∣p1⟩⊗∣p2⟩。
* 升降算符代数： [ap,ap′†]=δ3(p−p′)[a_{\mathbf{p}}, a_{\mathbf{p}'}^\dagger] = \delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}')[ap,ap′†]=δ3(p−p′) 这是算符代数的具体实现。

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===== - 场展开： ϕ(x)=∫d3p(2π)312Ep(ape−ipx+ap†eipx)\phi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \left( a_p e^{-ipx} + a_p^\dagger e^{ipx} \right)ϕ(x)=∫(2π)3d3p2Ep1(ape−ipx+ap†eipx) =====
* δ 函数是分布意义下的正交归一关系。
* 传播子（propagator）是微分算符的格林函数： (□+m2)DF(x−x′)=−iδ(4)(x−x′)(\Box + m^2) D_F(x-x') = -i\delta^{(4)}(x-x')(□+m2)DF(x−x′)=−iδ(4)(x−x′)

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===== - 费曼传播子积分中广泛用复平面变形： ∫d4p(2π)4ip2−m2+iϵ\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}∫(2π)4d4pp2−m2+iϵi 解析延拓 + 留数计算是 QFT 的标准操作。 =====
* Wick rotation（t→−iτt\to -i\taut→−iτ）把 Minkowski 积分转成 Euclidean 积分。

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* 对称性 ↔ 代数 ↔ 守恒量：Noether 定理。
* 李群/李代数： - U(1)U(1)U(1)：电磁相位对称； - SU(2)SU(2)SU(2)：弱相互作用； - SU(3)SU(3)SU(3)：强相互作用（量子色动力学 QCD）。
* 表示理论：粒子种类 ↔ 群的不可约表示（例如旋量表示）。
* 洛伦兹群与旋量理论： - SO(3,1)SO(3,1)SO(3,1)、其双覆盖 SL(2,C)SL(2,\mathbb{C})SL(2,C)。 - 狄拉克矩阵、Weyl 旋量、Majorana 旋量都出自此。

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===== - 场论中的作用量： S[ϕ]=∫d4x L(ϕ,∂μϕ)S[\phi] = \int d^4x\, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)S[ϕ]=∫d4xL(ϕ,∂μϕ) =====
* 变分得到欧拉–拉格朗日方程： ∂L∂ϕ−∂μ∂L∂(∂μϕ)=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\phi)} = 0∂ϕ∂L−∂μ∂(∂μϕ)∂L=0
* 对称性分析 → Noether 定理。

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