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이 정리는 각 진법의 자릿수가 유한하게 표현된다는 전제 위에 있습니다.
그런데 만약 “자릿수 확장 규칙”을 더 복잡하게 잡으면,
예를 들어 Gn(a,b)G_n^{(a,b)}Gn(a,b)를 단순한 2자리수로 안 두고
‘임의의 진법 간 합성수의 길이 변동까지 포함’하도록 하면,
상태 공간이 무한해질 수 있습니다.

그 경우,

: 

즉,
자릿수 확장(길이 비고정) 이 일어나면 반례가 생깁니다.

===== 정리의 핵심은 a,ba,ba,b가 소수일 때입니다. =====
소수 진법은 서로소 관계를 보장해서
자리 간 간섭(carry propagation)이 일정하게 닫힙니다.

하지만 a,ba,ba,b 중 하나라도 합성수(예: 4, 6, 8, 9)를 쓰면
진법 변환 과정에서 공약수에 따른 주기 붕괴가 생기고,
v⃗n(a,b)\vec{v}_n^{(a,b)}vn(a,b)의 대칭성이 깨집니다.

즉,
비소수 기수(non-prime bases) 를 쓰면 반례가 바로 나옵니다.

===== 정리 자체도 인정하듯이, =====
“충분히 큰 nnn” 이후에만 대칭이 성립합니다.

그런데 이 초기 전이 구간에서
자릿수 차 벡터가 급격히 달라지는 구간이 존재할 수 있고,
특정 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)에서는
nnn이 커져도 주기가 매우 길거나 불규칙할 가능성이 있습니다.

즉,

: 

이건 정리를 논리적으로 반박하는 반례는 아니지만,
경계 무한성(boundary non-convergence) 을 지적하는 반례 유형입니다.

===== “역상(reverse)”의 정의가 “단순히 벡터를 반전시키는 것”인지, =====
아니면 “진법 자릿수의 의미적 역순”인지는 모델마다 다릅니다.
이 정의가 모호하면, 서로 다른 정의에서 정리가 깨집니다.

즉,

: 

===== 혼합진법 자기불변성은 “위상이 맞을 때만 성립한다”는 조건을 갖습니다. =====
따라서 kkk가 주기의 위상과 맞닿지 않으면
kkk와 k−1k-1k−1에서 불변성이 깨질 수 있습니다.

이건 본 정리의 조건 위반형 반례입니다.