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==== 証明の流れ（本に沿って） ====
# 補題（15.1） 二項係数の合同式 (pqp)≡q(modp)\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}(ppq)≡q(modp) を証明。これは後で「シロー部分群の個数」の議論に必要。
# 定義 位数 ∣G∣=pnq|G| = p^n q∣G∣=pnq の有限群 GGG に対し、位数 pnp^npn の部分群を「シロー ppp-部分群」という。
# 定理（シローの定理） 1. シロー ppp-部分群は必ず存在する。 2. 任意の ppp-部分群はシロー ppp-部分群に含まれる。 3. シロー ppp-部分群は互いに共役である。 4. シロー ppp-部分群の個数 npn_pnp は np≡1(modp),np∣qn_p \equiv 1 \pmod{p}, \quad n_p \mid qnp≡1(modp),np∣q を満たす。
# 証明の戦略 - 部分集合 XXX（大きさ pnp^npn の部分集合全体）に群 GGG が作用する。 - 軌道分解・安定化群の議論を通じて「シロー部分群の存在」を保証。 - 共役作用を通じて「互いに共役である」ことを示す。 - 軌道の大きさを数え上げ、補題の合同式を用いて「個数条件 np≡1(modp)n_p \equiv 1 \pmod{p}np≡1(modp)」を導く。