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=== Assistant: 정답: 91\boxed{91}91 ===
정답: 91\boxed{91}91

풀이의 핵심은 “정수 항이 정확히 3개”라는 조건을 등비수열의 분모 소거 조건으로 해석하는 것입니다.

등비수열을 an=a1r n−1a_n=a_1 r^{\,n-1}an=a1rn−1라 두고, 공비를 기약분수 r=uvr=\dfrac{u}{v}r=vu (u,v∈Z, gcd⁡(u,v)=1)(u,v\in\mathbb Z,\ \gcd(u,v)=1)(u,v∈Z, gcd(u,v)=1)로 씁니다. 수렴하므로 ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1, 첫째항 a1>0a_1>0a1>0입니다.

===== 1) 정수 항이 정확히 3개 =====
⇒
⇒ 서로 연속한 3개

어떤 kkk에서 aka_kak가 정수라고 합시다. 그 다음 항 ak+1=ak⋅uva_{k+1}=a_k\cdot \dfrac{u}{v}ak+1=ak⋅vu가 정수이려면 v∣akv\mid a_kv∣ak, 다시 ak+2=ak⋅u2v2a_{k+2}=a_k\cdot\dfrac{u^2}{v^2}ak+2=ak⋅v2u2가 정수이려면 v2∣akv^2\mid a_kv2∣ak가 필요합니다. 그리고 정수 항이 더 이상 생기지 않으려면 v3∤akv^3\nmid a_kv3∤ak여야 합니다.
따라서 정수 항은 바로 ak,ak+1,ak+2a_k, a_{k+1}, a_{k+2}ak,ak+1,ak+2 연속 3개뿐입니다. 이때

ak=Nv2(N∈Z∖{0}),ak+1=Nvu,ak+2=Nu2.a_k=Nv^2\quad(N\in\mathbb Z\setminus\{0\}),\quad
a_{k+1} = Nvu,\quad
a_{k+2}=Nu^2.ak=Nv2(N∈Z∖{0}),ak+1=Nvu,ak+2=Nu2.
세 정수 항의 곱은

akak+1ak+2=N3 v3u3.a_k a_{k+1} a_{k+2}=N^3\,v^3u^3.akak+1ak+2=N3v3u3.
문제에서 그 곱이 216=63216=6^3216=63이므로

∣Nvu∣=6.(★)|Nvu|=6. \tag{★}∣Nvu∣=6.(★)
===== 2) =====
𝑎
1
+
𝑎
2
<
10
a
1
	

+a
2
	

<10 조건이 공비의 부호를 결정

공비가 양수이면 모든 항이 양수이고, (★)(★)(★)와 결합해 보면

a1r2=6 ⇒ a1+a2=a1(1+r)=6r2(1+r)≥12a_1 r^2 = 6 \ \Rightarrow\ a_1+a_2=a_1(1+r)
= \frac{6}{r^2}(1+r)\ge 12a1r2=6 ⇒ a1+a2=a1(1+r)=r26(1+r)≥12
가 되어 a1+a2<10a_1+a_2<10a1+a2<10와 모순입니다.
그러므로 공비는 음수여야 합니다.

정수 항이 연속 3개라는 점을 감안하면, 자연스럽게 정수 항 위치는 a2,a3,a4a_2,a_3,a_4a2,a3,a4가 됩니다(첫항은 정수가 아닐 수 있음). 이 경우 부호는 (−,+,−)(-,+,-)(−,+,−)로 곱이 +++가 되어 216216216과 일치합니다.

이제 r=−uv (0<u<v, gcd⁡(u,v)=1)r=-\dfrac{u}{v}\ (0<u<v,\ \gcd(u,v)=1)r=−vu (0<u<v, gcd(u,v)=1), 그리고 (★)(★)(★)로부터 가능한 (u,v,N)(u,v,N)(u,v,N)을 찾습니다. ∣Nvu∣=6|Nvu|=6∣Nvu∣=6이므로 vuvuvu는 1,2,3,61,2,3,61,2,3,6 중 하나,  u<v\ u<v u<v를 만족해야 합니다. 가능한 (u,v)(u,v)(u,v)는

(1,2), (1,3), (2,3), (1,6).(1,2),\ (1,3),\ (2,3),\ (1,6).(1,2), (1,3), (2,3), (1,6).
이때 a1+a2a_1+a_2a1+a2를 u,vu,vu,v로 직접 쓰면(정수 항이 a2,a3,a4a_2,a_3,a_4a2,a3,a4일 때 계산)

a1+a2=6 v(v−u)u2.a_1+a_2
=6\,\frac{v(v-u)}{u^2}.a1+a2=6u2v(v−u).
각 경우를 대입하면

(u,v)=(1,2):6⋅2(1)1=12(×)(u,v)=(1,3):6⋅3(2)1=36(×)(u,v)=(1,6):6⋅6(5)1=180(×)(u,v)=(2,3):6⋅3(1)4=184=92(✓)\begin{array}{lcl}
(u,v)=(1,2): & 6\cdot \dfrac{2(1)}{1} = 12 &(\times)\\[4pt]
(u,v)=(1,3): & 6\cdot \dfrac{3(2)}{1} = 36 &(\times)\\[4pt]
(u,v)=(1,6): & 6\cdot \dfrac{6(5)}{1} = 180 &(\times)\\[4pt]
(u,v)=(2,3): & 6\cdot \dfrac{3(1)}{4} = \dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2} &(\checkmark)
\end{array}(u,v)=(1,2):(u,v)=(1,3):(u,v)=(1,6):(u,v)=(2,3):6⋅12(1)=126⋅13(2)=366⋅16(5)=1806⋅43(1)=418=29(×)(×)(×)(✓)
따라서 유일하게 성립하는 것은

r=−23.r=-\frac{2}{3}.r=−32.
이때 (★)(★)(★)에서 N=−6vu=−63⋅2=−1N=-\dfrac{6}{vu}=-\dfrac{6}{3\cdot2}=-1N=−vu6=−3⋅26=−1이 되어

a2=Nv2=−9,a3=Nvu=6,a4=Nu2=−4,a_2=Nv^2=-9,\quad
a_3=Nvu=6,\quad
a_4=Nu^2=-4,a2=Nv2=−9,a3=Nvu=6,a4=Nu2=−4,
그리고 a1=a2r=−9−2/3=272a_1=\dfrac{a_2}{r}=\dfrac{-9}{-2/3}=\dfrac{27}{2}a1=ra2=−2/3−9=227.
검산하면 a1+a2=272−9=92<10a_1+a_2=\dfrac{27}{2}-9=\dfrac{9}{2}<10a1+a2=227−9=29<10, 정수 항은 정확히 세 개, 곱은 (−9)⋅6⋅(−4)=216(-9)\cdot 6\cdot(-4)=216(−9)⋅6⋅(−4)=216으로 조건과 일치합니다.

===== 3) 급수의 합 =====

∑n=1∞an=a11−r=272 1−(−2/3) =27253=8110.\sum_{n=1}^{\infty} a_n
=\frac{a_1}{1-r}
=\frac{\dfrac{27}{2}}{\,1-(-2/3)\,}
=\frac{\dfrac{27}{2}}{\dfrac{5}{3}}
=\frac{81}{10}.n=1∑∞an=1−ra1=1−(−2/3)227=35227=1081.
즉 qp=8110\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{81}{10}pq=1081이므로 p+q=10+81=91p+q=10+81=\boxed{91}p+q=10+81=91입니다.