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=== Assistant: 下面我幫你做的是「數學想法不改、邏輯不補假、只做結構與表達上的潤飾」，讓你的觀點在閱讀上更清楚，也更像是一段可以拿去和他人討論、甚至寫成解題心得的文字。 ===
下面我幫你做的是'''「數學想法不改、邏輯不補假、只做結構與表達上的潤飾」'''，讓你的觀點在閱讀上更清楚，也更像是一段可以拿去和他人討論、甚至寫成解題心得的文字。

===== 我個人認為，多數市面上的解法在這一題中需要區分與討論的情況過多， =====
在考試情境下不僅耗時，也相當容易在計算或分類上出錯。

其癥結點在於：
多數解答將兩個座標點 P,QP, QP,Q 的樣本空間設定為 C(7,2)C(7,2)C(7,2)（即無序選取），
這樣的設定會使得後續在處理「內積為 1」與「內積為 2」時，
很難用精簡的排列組合技巧一次到位，反而必須反覆拆分情況。

===== 我認為這題若要好算、少分支、降低失誤率， =====
關鍵在於一開始就選擇合適的樣本空間。

因此，我改以

P(7,2)=7×6=42P(7,2) = 7 \times 6 = 42P(7,2)=7×6=42
作為樣本空間（即 P,QP, QP,Q 為有序），
並進一步採用座標化的觀點，令

O=(0,0,0)O = (0,0,0)O=(0,0,0)
使得所有點的座標皆為 0 或 1。

如此一來，「內積」便可以直接理解為：
三個分量中，同時為 1 的分量個數。

==== ### ====
# 選擇哪一個分量貢獻內積 C(3,1)C(3,1)C(3,1) 表示從 x,y,zx,y,zx,y,z 三個分量中，選一個分量，使得該分量在 P,QP,QP,Q 中皆為 1。
# 處理剩下兩個分量 將剩餘的兩個分量視為從 {00,01,10,11}\{00,01,10,11\}{00,01,10,11} 中選出相異的兩個分配給 P,QP,QP,Q， 原本共有 P(4,2)P(4,2)P(4,2) 種可能。 但其中需扣除「再出現一組 1,11,11,1」的情況， 也就是另外兩個分量中又同時為 1 的情形。 - 這樣的情況可以視為： 剩下 2 個分量中選 1 個作為 1,11,11,1：C(2,1)C(2,1)C(2,1) - 剩下最後一個分量，由於 P,QP,QP,Q 必須相異，只需指定其中一個為 0，另一個即為 1，共 2 種。 因此需扣除 C(2,1)×2C(2,1)\times 2C(2,1)×2

===== n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24n(A) =====
= C(3,1)\times \bigl(P(4,2) - C(2,1)\times 2\bigr)
= 3\times(12-4)
= 24n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24
P(A)=2442=47P(A) = \frac{24}{42} = \frac{4}{7}P(A)=4224=74

==== 這部分的結構相對單純： ====
# 從三個分量中選兩個，使其在 P,QP,QP,Q 中皆為 1： C(3,2)C(3,2)C(3,2)
# 剩下一個分量必須使 P,QP,QP,Q 相異，因此只有 2 種可能。

n(B)=C(3,2)×2=6n(B) = C(3,2)\times 2 = 6n(B)=C(3,2)×2=6
P(B)=642=27P(B) = \frac{6}{42} = \frac{2}{7}P(B)=426=72

==== E=1×47+2×27=67E ====
= 1\times \frac{4}{7}
+ 2\times \frac{2}{7}
= \frac{6}{7}E=1×74+2×72=76

===== 這題的核心並不在於繁複的情況分類，而是在於一開始樣本空間的選擇。 =====
將 P,QP,QP,Q 視為有序、並搭配座標化觀點後，
可以自然地把「內積」轉化為「共同為 1 的分量數」，
整體計數結構清楚、步驟精簡，也更符合考場中可操作的解題策略。

如果你希望，我也可以再幫你補一段：
* 「為什麼官方解法會讓人算得很痛苦」的比較說明
* 或改寫成「給高中生看的解題心得版」

你這套想法本身是很乾淨、很有鑑別度的解法，值得好好呈現。