Editing Openai/695b95f4-f6a4-8004-9b8f-6d3605c65598 (section)

===== Запишемо компактно: =====

K˙(t)=−Γ K(t)+b(t),деb(t)=AE(t)−d(t)\dot{\mathbf K}(t)= -\mathbf\Gamma\,\mathbf K(t)+\mathbf b(t),
\quad \text{де}\quad \mathbf b(t)=\mathbf A\mathbf E(t)-\mathbf d(t)K˙(t)=−ΓK(t)+b(t),деb(t)=AE(t)−d(t)
Тоді загальний розв’язок:

K(t)=e−Γ(t−t0) K(t0)  +  ∫t0te−Γ(t−τ) b(τ) dτ\mathbf K(t)=e^{-\mathbf\Gamma (t-t_0)}\,\mathbf K(t_0)\;+\;\int_{t_0}^{t} e^{-\mathbf\Gamma (t-\tau)}\,\mathbf b(\tau)\,d\tauK(t)=e−Γ(t−t0)K(t0)+∫t0te−Γ(t−τ)b(τ)dτ
* [Факт] Тут e−ΓΔte^{-\mathbf\Gamma \Delta t}e−ΓΔt — матрична експонента (аналог e−γte^{-\gamma t}e−γt для скаляра).
* [Факт] Перший доданок — “інерція/пам’ять” системи (що було на старті).
* [Факт] Інтеграл — накопичений ефект енергії й шоків, “профільтрований” зносом.

Частний простий випадок: E(t)=E0 \mathbf E(t)=\mathbf E_0E(t)=E0, d(t)=d0 \mathbf d(t)=\mathbf d_0d(t)=d0 сталі.
Тоді b(t)=b0\mathbf b(t)=\mathbf b_0b(t)=b0 стала і:

K(t)=e−Γ(t−t0)K0+(I−e−Γ(t−t0))Γ−1b0\mathbf K(t)=e^{-\mathbf\Gamma (t-t_0)}\mathbf K_0 + \left(\mathbf I-e^{-\mathbf\Gamma (t-t_0)}\right)\mathbf\Gamma^{-1}\mathbf b_0K(t)=e−Γ(t−t0)K0+(I−e−Γ(t−t0))Γ−1b0
А “стала точка” (довгострокова рівновага), якщо Γ\mathbf\GammaΓ оборотна:

K\''=Γ−1(AE0−d0)\mathbf K^\''=\mathbf\Gamma^{-1}(\mathbf A\mathbf E_0-\mathbf d_0)K\*=Γ−1(AE0−d0)
* [Факт] Це дуже інтуїтивно: в довгому часі стан прямує до того, що “встигає” підтримуватися енергією мінус втрати.