Editing Openai/68b970ce-1e04-8005-85da-9f2468b66517 (section)

=== Assistant: 다음과 같이 두겠습니다. ===
다음과 같이 두겠습니다.
* PB‾:PC‾:BC‾=7:5:14\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}PB:PC:BC=7:5:14 이므로  PB=7k, PC=5k, BC=14 k\ PB=7k,\ PC=5k,\ BC=\sqrt{14}\,k PB=7k, PC=5k, BC=14k.
* △BPC\triangle BPC△BPC에서 ∠BPC=θ\angle BPC=\theta∠BPC=θ라 하면 cos⁡θ=PB2+PC2−BC22⋅PB⋅PC=49+25−142⋅7⋅5=67.\cos\theta=\frac{PB^{2}+PC^{2}-BC^{2}}{2\cdot PB\cdot PC} =\frac{49+25-14}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac67.cosθ=2⋅PB⋅PCPB2+PC2−BC2=2⋅7⋅549+25−14=76. 따라서 sin⁡θ=1−(67)2=137\sin\theta=\sqrt{1-\big(\tfrac67\big)^2}=\tfrac{\sqrt{13}}{7}sinθ=1−(76)2=713.
* 원 밖의 교점 PPP에 대한 표준 성질로 △BPC∼△DPA\triangle BPC\sim \triangle DPA△BPC∼△DPA. 따라서 어떤 s>1s>1s>1에 대하여 PD=s PB,PA=s PC,AD=s BC.PD=s\,PB,\quad PA=s\,PC,\quad AD=s\,BC.PD=sPB,PA=sPC,AD=sBC. 한편 AB=∣PA−PB∣=∣5s−7∣ k,CD=∣PD−PC∣=∣7s−5∣ kAB=\lvert PA-PB\rvert=\lvert5s-7\rvert\,k,\quad CD=\lvert PD-PC\rvert=\lvert7s-5\rvert\,kAB=∣PA−PB∣=∣5s−7∣k,CD=∣PD−PC∣=∣7s−5∣k. 주어진 AB:CD=1:3AB:CD=1:3AB:CD=1:3에서 ∣5s−7∣∣7s−5∣=13\frac{\lvert5s-7\rvert}{\lvert7s-5\rvert}=\frac13∣7s−5∣∣5s−7∣=31 를 풀면 s=2s=2s=2 (또는 13/1113/1113/11)가 나오며, BC<ADBC<ADBC<AD 및 도형의 배치에 부합하는 해는 s=2s=2s=2입니다.
* 그러면 AD=413=s BC=2⋅BCAD=4\sqrt{13}=s\,BC=2\cdot BCAD=413=sBC=2⋅BC이므로 BC=213BC=2\sqrt{13}BC=213. 처음의 BC=14 kBC=\sqrt{14}\,kBC=14k와 맞추면 k=21314k=\dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt{14}}k=14213.

이제 물음의 세 칸을 채우면,
# ℓ=AB=∣5s−7∣ k=∣10−7∣ k=3k\ell=AB=\lvert5s-7\rvert\,k=|10-7|\,k=3kℓ=AB=∣5s−7∣k=∣10−7∣k=3k 이므로 (가)=3(\text{가})=3(가)=3.
# 닮음비는 1:s=1:21:s=1:21:s=1:2이므로 (나)=2(\text{나})=2(나)=2.
# △BPC\triangle BPC△BPC에서 사인법칙으로 R=BC2sin⁡θ=14 k2⋅(13/7)=714 k213=7⋅213213=7,R=\frac{BC}{2\sin\theta} =\frac{\sqrt{14}\,k}{2\cdot(\sqrt{13}/7)} =\frac{7\sqrt{14}\,k}{2\sqrt{13}} =\frac{7\cdot 2\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=7,R=2sinθBC=2⋅(13/7)14k=213714k=2137⋅213=7, 따라서 (다)=7(\text{다})=7(다)=7.

따라서 p+q+r=3+2+7=12p+q+r=3+2+7=12p+q+r=3+2+7=12입니다.