Editing Openai/695b95f4-f6a4-8004-9b8f-6d3605c65598 (section)

=== Assistant: Висновок 1–2 рядки. ===
Висновок (1–2 рядки).
У часі це виглядає як система диференціальних рівнянь (ODE): задаєш K(t0) \mathbf K(t_0)K(t0), сценарій входу E(t) \mathbf E(t)E(t), параметри A \mathbf AA і втрат Δ \mathbf\DeltaΔ, далі отримуєш траєкторію K(t) \mathbf K(t)K(t) інтегруванням (аналітично для простих випадків або чисельно майже завжди).

==== ### ====

Щоб рівняння реально розв’язувати в часовому проміжку, зазвичай роблять втрати лінійними по стану (знос/деградація):

K˙(t)=A E(t)  −  Γ K(t)  −  d(t)\dot{\mathbf K}(t)=\mathbf A\,\mathbf E(t)\;-\;\mathbf\Gamma\,\mathbf K(t)\;-\;\mathbf d(t)K˙(t)=AE(t)−ΓK(t)−d(t)
* [Факт] K(t)∈Rn\mathbf K(t)\in\mathbb R^nK(t)∈Rn — вектор стану цивілізації (капітали).
* [Факт] E(t)∈Rm\mathbf E(t)\in\mathbb R^mE(t)∈Rm — вектор енергопотоків/ексергії по каналах.
* [Факт] A∈Rn×m\mathbf A\in\mathbb R^{n\times m}A∈Rn×m — матриця перетворення (тензор 2-го порядку).
* [Факт] Γ∈Rn×n\mathbf\Gamma\in\mathbb R^{n\times n}Γ∈Rn×n — матриця “зносу/витоків” (часто діагональна).
* [Факт] d(t)∈Rn\mathbf d(t)\in\mathbb R^nd(t)∈Rn — зовнішні “мінуси” (війна, санкції, катастрофи), які не залежать прямо від KKK.

Це вже лінійна система (якщо A,Γ\mathbf A,\mathbf\GammaA,Γ сталі). Вона має стандартний розв’язок.

===== Запишемо компактно: =====

K˙(t)=−Γ K(t)+b(t),деb(t)=AE(t)−d(t)\dot{\mathbf K}(t)= -\mathbf\Gamma\,\mathbf K(t)+\mathbf b(t),
\quad \text{де}\quad \mathbf b(t)=\mathbf A\mathbf E(t)-\mathbf d(t)K˙(t)=−ΓK(t)+b(t),деb(t)=AE(t)−d(t)
Тоді загальний розв’язок:

K(t)=e−Γ(t−t0) K(t0)  +  ∫t0te−Γ(t−τ) b(τ) dτ\mathbf K(t)=e^{-\mathbf\Gamma (t-t_0)}\,\mathbf K(t_0)\;+\;\int_{t_0}^{t} e^{-\mathbf\Gamma (t-\tau)}\,\mathbf b(\tau)\,d\tauK(t)=e−Γ(t−t0)K(t0)+∫t0te−Γ(t−τ)b(τ)dτ
* [Факт] Тут e−ΓΔte^{-\mathbf\Gamma \Delta t}e−ΓΔt — матрична експонента (аналог e−γte^{-\gamma t}e−γt для скаляра).
* [Факт] Перший доданок — “інерція/пам’ять” системи (що було на старті).
* [Факт] Інтеграл — накопичений ефект енергії й шоків, “профільтрований” зносом.

Частний простий випадок: E(t)=E0 \mathbf E(t)=\mathbf E_0E(t)=E0, d(t)=d0 \mathbf d(t)=\mathbf d_0d(t)=d0 сталі.
Тоді b(t)=b0\mathbf b(t)=\mathbf b_0b(t)=b0 стала і:

K(t)=e−Γ(t−t0)K0+(I−e−Γ(t−t0))Γ−1b0\mathbf K(t)=e^{-\mathbf\Gamma (t-t_0)}\mathbf K_0 + \left(\mathbf I-e^{-\mathbf\Gamma (t-t_0)}\right)\mathbf\Gamma^{-1}\mathbf b_0K(t)=e−Γ(t−t0)K0+(I−e−Γ(t−t0))Γ−1b0
А “стала точка” (довгострокова рівновага), якщо Γ\mathbf\GammaΓ оборотна:

K\''=Γ−1(AE0−d0)\mathbf K^\''=\mathbf\Gamma^{-1}(\mathbf A\mathbf E_0-\mathbf d_0)K\*=Γ−1(AE0−d0)
* [Факт] Це дуже інтуїтивно: в довгому часі стан прямує до того, що “встигає” підтримуватися енергією мінус втрати.

===== Типово: =====

K˙(t)=A(K)E(t)−Δ(K,t)\dot{\mathbf K}(t)=\mathbf A(\mathbf K)\mathbf E(t)-\mathbf\Delta(\mathbf K,t)K˙(t)=A(K)E(t)−Δ(K,t)
* [Факт] Аналітичні формули рідкісні.
* [Факт] Рішення зазвичай роблять чисельно: Runge–Kutta (RK4), адаптивні методи, тощо.

===== Береш крок Δt\Delta tΔt (день/тиждень/місяць) і рахуєш: =====

Найпростіший (Euler):

Kt+Δt=Kt+Δt⋅(AEt−ΓKt−dt)\mathbf K_{t+\Delta t}=\mathbf K_t+\Delta t\cdot\left(\mathbf A\mathbf E_t-\mathbf\Gamma\mathbf K_t-\mathbf d_t\right)Kt+Δt=Kt+Δt⋅(AEt−ΓKt−dt)
* [Факт] Це буквально “поточний стан + приріст за крок”.
* [Гіпотеза] Для довгих горизонтів краще RK4/адаптивні — менше чисельних помилок.

===== Ти отримуєш не одне число, а: =====
* траєкторії KH(t),KT(t),KI(t),…K_H(t), K_T(t), K_I(t), \dotsKH(t),KT(t),KI(t),…
'' оцінку стабільності (чи сходиться до K\'' \mathbf K^\''K\'', чи розбігається/коливається)
* чутливості: як зміниться результат, якщо підняти EindustryE_{\text{industry}}Eindustry або покращити інституційну ефективність (елементи A\mathbf AA) чи знизити втрати (елементи Γ\mathbf\GammaΓ, d\mathbf dd).

==== [Немає підтвердження] Це стандартна математика лінійних/нелінійних ОДУ (матрична експонента, інтеграл Дюамеля, дискретні схеми інтегрування), застосована як абстрактна рамка до “стану цивілізації”. Конкретні параметри потребують вибору метрик і даних. ====
Дата перевірки: 2026-01-05.