Editing Openai/695b957c-ffe8-8008-97fb-d5a6cc3ba798 (section)

=== Assistant: 好，下面我直接把「座標化後，內積取決於同時為 1 的分量數」這個核心觀察，自然地嵌回你原本的初稿結構中，不改你的計數邏輯，只補關鍵說明與銜接，讓整段看起來更完整、也更好被理解。 ===
好，下面我直接把'''「座標化後，內積取決於同時為 1 的分量數」'''這個核心觀察，自然地嵌回你原本的初稿結構中，不改你的計數邏輯，只補關鍵說明與銜接，讓整段看起來更完整、也更好被理解。

出自 112 年數 A 學測單選題第 6 題。
個人認為，多數解答在這一題中需要分析的情況過多，
若依照那樣的分類方式進行，很容易在考試中因步驟繁瑣而計算出錯。

我認為癥結點在於，多數解法是以

C(7,2)C(7,2)C(7,2)
作為兩個座標點 P,QP,QP,Q 的樣本空間（即視為無序），
這會導致在區分「內積 = 1」與「內積 = 2」時，
難以用少量、結構化的排列組合技巧完成計數。

因此，我認為本題若要好做，
應改以

P(7,2)=7×6=42P(7,2)=7\times6=42P(7,2)=7×6=42
（即 P,QP,QP,Q 為有序）作為樣本空間，
並搭配座標化的觀點，令

O=(0,0,0)O=(0,0,0)O=(0,0,0)
則所有點的座標分量皆為 0 或 1。

在此設定下，可以清楚觀察到一個關鍵事實：
兩點 P,QP,QP,Q 的內積大小，完全取決於三個分量中，有多少個分量同時為 1。
也就是說，同時為 1 的分量數為 1，內積即為 1；
同時為 1 的分量數為 2，內積即為 2。

基於這個觀察，內積問題便可直接轉化為「分量配置的計數問題」。

===== 1. 內積 = 1（事件 A） =====

n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24n(A)=C(3,1)\times\bigl(P(4,2)-C(2,1)\times2\bigr)
=3\times(12-4)=24n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24
說明如下：
* C(3,1)C(3,1)C(3,1)： 從 x,y,zx,y,zx,y,z 三個分量中選 1 個，使該分量在 P,QP,QP,Q 中皆為 1。
* P(4,2)P(4,2)P(4,2)： 將 P,QP,QP,Q 剩餘兩個分量視為從 {00,01,10,11}\{00,01,10,11\}{00,01,10,11} 中選出相異 2 個。
* 扣除 C(2,1)×2C(2,1)\times2C(2,1)×2： 排除剩下兩個分量中，再出現一組同時為 1 的情況。

因此

P(A)=2442=47P(A)=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}P(A)=4224=74

===== 2. 內積 = 2（事件 B） =====

n(B)=C(3,2)×2=6n(B)=C(3,2)\times2=6n(B)=C(3,2)×2=6
* C(3,2)C(3,2)C(3,2)： 從三個分量中選兩個，使其在 P,QP,QP,Q 中皆為 1。
* 剩餘一個分量須使 P,QP,QP,Q 相異，因此有 2 種可能。

P(B)=642=27P(B)=\frac{6}{42}=\frac{2}{7}P(B)=426=72

===== 期望值 =====

E=1×47+2×27=67E=1\times\frac{4}{7}+2\times\frac{2}{7}=\frac{6}{7}E=1×74+2×72=76

如果你願意，我也可以幫你再做一版 「壓到學測講解欄可用的超精簡版」，或是幫你標出哪幾句是「一定要留下來的關鍵句」。
這一版已經很清楚地呈現出：問題其實是在樣本空間選擇，而不是計算能力本身。