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=== Assistant: 해결의 핵심은 분모를 인수분해하는 것입니다. ===
해결의 핵심은 분모를 인수분해하는 것입니다.

f(x)=x2+6x+12=(x+3)2+3>0f(x)=x^2+6x+12=(x+3)^2+3>0f(x)=x2+6x+12=(x+3)2+3>0 이므로,

(f(x))2−k(x+2)f(x)=f(x)(f(x)−k(x+2))(f(x))^2-k(x+2)f(x)=f(x)\big(f(x)-k(x+2)\big)(f(x))2−k(x+2)f(x)=f(x)(f(x)−k(x+2))
이고, 분모가 0이 되는 일은 f(x)−k(x+2)=0f(x)-k(x+2)=0f(x)−k(x+2)=0일 때뿐입니다. 이를

gk(x):=x2+(6−k)x+(12−2k)=0g_k(x):=x^2+(6-k)x+(12-2k)=0gk(x):=x2+(6−k)x+(12−2k)=0
이라 두겠습니다.

모든 실수 aaa에서 극한 lim⁡x→ax2f(x) gk(x)\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^2}{f(x)\,g_k(x)}x→alimf(x)gk(x)x2 이 존재하려면,
* a≠0a\neq 0a=0에서는 분모가 0이 되면 안 됩니다(분자는 x2x^2x2라 a≠0a\neq 0a=0에서 0이 아니므로 발산).
* a=0a=0a=0에서는 분모가 0이 되더라도, 그 소거 차수가 2 이하이면 극한이 유한하게 존재할 수 있습니다.

따라서 허용되는 경우는
# gk(x)g_k(x)gk(x)가 실근이 전혀 없을 때, 혹은
# gk(x)g_k(x)gk(x)의 유일한 실근이 x=0x=0x=0이고, 그 근의 차수가 2인 경우입니다.

이제 판별식을 보겠습니다.

Δ=(6−k)2−4(12−2k)=k2−4k−12.\Delta=(6-k)^2-4(12-2k)=k^2-4k-12.Δ=(6−k)2−4(12−2k)=k2−4k−12.
Δ<0\Delta<0Δ<0이면 실근이 없으므로 허용됩니다.
Δ<0  ⟺  −2<k<6\Delta<0\iff -2<k<6Δ<0⟺−2<k<6 이고, 정수 kkk는 {−1,0,1,2,3,4,5}\{-1,0,1,2,3,4,5\}{−1,0,1,2,3,4,5}.

경계값을 점검합니다.
* k=6k=6k=6: g6(x)=x2g_6(x)=x^2g6(x)=x2. 분모는 f(x) x2f(x)\,x^2f(x)x2가 되어 x=0x=0x=0에서 분자 x2x^2x2와 정확히 소거되고, lim⁡x→0x2f(x)x2=1f(0)=112\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{f(x)x^2}=\frac1{f(0)}=\frac1{12}x→0limf(x)x2x2=f(0)1=121. 다른 a≠0a\neq 0a=0에서는 분모 ≠0\neq 0=0. ⇒ 허용.
* k=−2k=-2k=−2: g−2(x)=x2+8x+16=(x+4)2g_{-2}(x)=x^2+8x+16=(x+4)^2g−2(x)=x2+8x+16=(x+4)2. x=−4x=-4x=−4에서 분모가 0이지만 분자는 16이므로 발산. ⇒ 불허.

따라서 조건을 만족하는 정수 kkk는

k∈{−1,0,1,2,3,4,5,6},k\in\{-1,0,1,2,3,4,5,6\},k∈{−1,0,1,2,3,4,5,6},
총 8개입니다.

정답: 8.