Editing Openai/695b95f4-f6a4-8004-9b8f-6d3605c65598 (section)

=== Assistant: Висновок 1–2 рядки. ===
Висновок (1–2 рядки).
Мінімально: K \mathbf{K}K і E \mathbf{E}E — вектори (тензори 1-го порядку), а перетворювач A \mathbf{A}A — тензор 2-го порядку (матриця). Якщо хочеш “по-справжньому тензорно” з нелінійностями та взаємодіями — з’являються тензори 3–4 порядку.

==== ### ====

Запис:

K˙=A E−Δ\dot{\mathbf K}=\mathbf A\,\mathbf E-\mathbf\DeltaK˙=AE−Δ
* [Факт] K∈Rn\mathbf K \in \mathbb{R}^nK∈Rn — вектор капіталів → тензор 1-го порядку.
* [Факт] E∈Rm\mathbf E \in \mathbb{R}^mE∈Rm — вектор енергопотоків по каналах → тензор 1-го порядку.
* [Факт] A∈Rn×m\mathbf A \in \mathbb{R}^{n\times m}A∈Rn×m — матриця перетворення “канал енергії → приріст капіталу” → тензор 2-го порядку.
* [Факт] Δ∈Rn\mathbf\Delta \in \mathbb{R}^nΔ∈Rn — вектор втрат/зносу → тензор 1-го порядку.

Індексно (щоб було видно порядок):

K˙i=AijEj−Δi\dot K_i = A_{ij} E_j - \Delta_iK˙i=AijEj−Δi
Тут AijA_{ij}Aij має 2 індекси → 2-й порядок.

===== Якщо ти хочеш, щоб ефективність залежала від стану K\mathbf KK лінійно (перший крок до “самопідсилення/саморуйнування”): =====

Aij(K)≈Aij(0)+BijkKkA_{ij}(\mathbf K)\approx A^{(0)}_{ij} + B_{ijk}K_kAij(K)≈Aij(0)+BijkKk
* [Факт] BijkB_{ijk}Bijk має 3 індекси → тензор 3-го порядку.

Підставляємо:

K˙i=(Aij(0)+BijkKk)Ej−Δi\dot K_i = \left(A^{(0)}_{ij} + B_{ijk}K_k\right)E_j - \Delta_iK˙i=(Aij(0)+BijkKk)Ej−Δi
Тут виникає член BijkKkEjB_{ijk}K_kE_jBijkKkEj — він описує “ефект масштабу”: наприклад, більше інституційного капіталу → та ж енергія дає більший приріст інфраструктури/знань.

===== Якщо хочеш моделювати парні взаємодії між компонентами стану (комплементарність: освіта×інституції, наука×виробництво): =====

K˙i=AijEj+CiklKkKl−Δi\dot K_i = A_{ij}E_j + C_{ikl}K_kK_l - \Delta_iK˙i=AijEj+CiklKkKl−Δi
Тут CiklC_{ikl}Cikl — знов 3-й порядок (бо результат — вектор).

А 4-й порядок природно з’являється, коли ти робиш квадратичну форму від K\mathbf KK і E\mathbf EE одночасно (взаємодія “стан×енергія” в парному вигляді):

K˙i=AijEj+DijklKkEl−Δi\dot K_i = A_{ij}E_j + D_{ijkl}K_kE_l - \Delta_iK˙i=AijEj+DijklKkEl−Δi
* [Факт] DijklD_{ijkl}Dijkl має 4 індекси → тензор 4-го порядку.

Це “найбільш тензорно правильний” спосіб сказати: який саме капітал + який саме канал енергії разом дають/не дають приріст конкретної компоненти.

===== - [Факт] Якщо ти працюєш в Rn\mathbb{R}^nRn з базисом і просто рахунком — “вектор/матриця” = “тензор 1/2 порядку”. =====
* [Факт] Якщо хочеш координатно-інваріантну версію (як у фізиці на многовидах), тоді треба чітко задати, в яких просторах живуть K,E\mathbf K, \mathbf EK,E, і що є “зміною базису”. Але для змісту цивілізаційної моделі це зазвичай зайва важка артилерія.

==== [Немає підтвердження] Це математичне уточнення (класифікація за кількістю індексів), без прив’язки до конкретних емпіричних даних чи “єдино правильного” вибору функціональної форми. ====
Дата перевірки: 2026-01-05.