Editing Openai/69174844-9774-8012-8b69-32262ca5e35a (section)

=== Assistant: 你问的这个问题实际上是“为什么无质量粒子的自旋自由度由‘小群’（little group）决定’”的核心。我们可以从洛伦兹群表征理论和物理自由度约束的角度来讲清楚。 ===
你问的这个问题实际上是'''“为什么无质量粒子的自旋自由度由‘小群’（little group）决定’”的核心。我们可以从洛伦兹群表征理论'''和物理自由度约束的角度来讲清楚。

==== ### ====

在量子场论中，一个单粒子态 ∣p,σ⟩|p, \sigma\rangle∣p,σ⟩ 是洛伦兹群（Poincaré 群）下的表示空间的向量。
* Poincaré 群 = 平移群 + 洛伦兹群
* 粒子状态用动量 p\mathbf{p}p 和“内部自由度”（自旋、自旋投影）标记：

∣p,σ⟩|p, \sigma\rangle∣p,σ⟩
===== - 物理上：粒子在动量 p\mathbf{p}p 下的自由度不能随动量变化而改变 → 也就是粒子自旋或偏振是相对于动量定义的。 =====
* 数学上：考虑保持动量 ppp 不变的洛伦兹变换：

Λ  νμpν=pμ\Lambda^\mu_{\;\nu} p^\nu = p^\muΛνμpν=pμ
* 这个子群称为 小群（little group）。

: 

===== - 对固定动量 ppp，所有保持 ppp 不变的洛伦兹变换不会改变动量，但可能改变粒子的内部状态（自旋、偏振）。 =====
* 因此粒子内部自由度必须形成小群的不可约表示（irreducible representation, irrep）。
* 换句话说：自旋/螺旋度 = 小群不可约表示的维度。

==== ### ====
* 可以在粒子静止系定义态，动量 pμ=(m,0,0,0)p^\mu = (m,0,0,0)pμ=(m,0,0,0)。
* 保持静止动量不变的洛伦兹变换就是 SO(3)（三维旋转）。
* 自旋 s → 2s+1 个自由度（自旋投影 sz=−s,...,ss_z=-s,...,ssz=−s,...,s）。

===== - 没有静止系，选择参考动量 pμ=(E,0,0,E)p^\mu = (E,0,0,E)pμ=(E,0,0,E)（沿 z 方向）。 =====
* 保持 ppp 不变的变换是 ISO(2)（二维欧几里得群）： - 包含旋转 SO(2)SO(2)SO(2) → 对应螺旋度（helicity） - 平移部分 → 可以规掉（非物理自由度）
* 结果：无质量粒子只有两个物理自由度（helicity ±s）。

: 

==== 1. 自选自由度 = 内部状态的维度 - 对于每个动量 ppp，内部状态不能被动量变化改变 → 就是小群作用的自由度。 ====
# 小群就是“动量不动时还能做什么旋转或变换” - 有质量 → 可以做三维旋转 → 2s+1 个投影 - 无质量 → 只能做沿动量的旋转 → ±s 的螺旋度

==== - 单粒子态：∣p,σ⟩|p,\sigma\rangle∣p,σ⟩ ====
* 洛伦兹变换：

U(Λ)∣p,σ⟩=∑σ′Cσ′σ(Λ,p)∣Λp,σ′⟩U(\Lambda)|p,\sigma\rangle = \sum_{\sigma'} C_{\sigma'\sigma}(\Lambda,p) |\Lambda p, \sigma'\rangleU(Λ)∣p,σ⟩=σ′∑Cσ′σ(Λ,p)∣Λp,σ′⟩
* 保持 ppp 不变 (Λp=p\Lambda p = pΛp=p) → Cσ′σ(Λ,p)C_{\sigma'\sigma}(\Lambda,p)Cσ′σ(Λ,p) 是小群表示矩阵。
* 小群不可约表示维数 = 自选自由度数。

==== - 有质量：静止的旋转 → 自旋 s → 2s+1 个状态 ====
* 无质量：沿动量旋转 → 螺旋 ±s → 仅两个偏振态（光子、引力波等）

: 

如果你愿意，我可以画一张图，直观展示：
* 有质量粒子静止系的 SO(3) 小群
* 无质量粒子沿 z 的 ISO(2) 小群
* 两种情况下自旋自由度的可视化对比

这张图能把“自选自由度 = 小群表示”彻底理解。

你希望我画吗？