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=== User: p知恵てください ===
p知恵てください

=== Assistant: もちろんです。「p知恵てください」というのは「教えてください」のタイプミスでしょうか？ ===
もちろんです。「p知恵てください」というのは「教えてください」のタイプミスでしょうか？
もう少し詳しく教えてください。たとえば：
* 何について知りたいですか？（例：PyTorchの使い方、数学の定理、コードの書き方など）
* 具体的な質問や目的がありますか？

内容を教えていただければ、すぐにお手伝いします。

=== User: Parisiらが創始したランダム系のレプリカ対称性の破れと超対称性の破れの関係について教えてください ===
Parisiらが創始したランダム系のレプリカ対称性の破れと超対称性の破れの関係について教えてください

=== Assistant: とても深いテーマです。 ===
とても深いテーマです。
Parisiによる'''レプリカ対称性の破れ（Replica Symmetry Breaking: RSB）'''と、'''超対称性（SUSY）'''の破れとの関係は、統計物理・確率解析・幾何学的構造の接点にあります。
以下で、体系的に整理して説明します。

==== スピングラス（特にSherrington–Kirkpatrick模型, SK模型）は、相互作用 JijJ_{ij}Jij がランダムな符号を持つイジング模型： ====

H=−∑i<jJijsisjH = -\sum_{i<j} J_{ij} s_i s_jH=−i<j∑Jijsisj
を考えます。ここで Jij∼N(0,1/N)J_{ij} \sim \mathcal{N}(0, 1/N)Jij∼N(0,1/N) です。

平均自由エネルギー

ln⁡Z‾=ln⁡∑{si}e−βH‾\overline{ \ln Z } = \overline{ \ln \sum_{\{s_i\}} e^{-\beta H}}lnZ=ln{si}∑e−βH
の disorder 平均を直接とるのが難しいため、Parisi らは次のような「レプリカトリック」を導入します：

ln⁡Z‾=lim⁡n→0Zn‾−1n\overline{ \ln Z } = \lim_{n \to 0} \frac{\overline{Z^n} - 1}{n}lnZ=n→0limnZn−1
ここで整数 nnn 個の「レプリカ」系を考えると、'''レプリカ対称性（RS）'''は「全レプリカが等価である」という仮定に相当します。

==== Parisiは、低温相でこの対称性が壊れることを発見しました。 ====
すなわち、レプリカ間の重なり（overlap）

qab=1N∑isi(a)si(b)q_{ab} = \frac{1}{N} \sum_i s_i^{(a)} s_i^{(b)}qab=N1i∑si(a)si(b)
が、単一値ではなく階層構造を持つこと（例：1-step RSB, full RSB）を示しました。

この階層的構造が、エネルギーランドスケープの'''指数的に多い局所極小（メタ安定状態）'''を反映しています。

==== ここからが本題です。 ====

確率場の定式化（特にLangevin力学やMartin–Siggia–Rose (MSR)形式)では、確率過程を経路積分として書くと、自然にBRST型超対称性が現れます。

たとえば、確率過程：

x˙i=−∂V(x)∂xi+ηi(t)\dot{x}_i = -\frac{\partial V(x)}{\partial x_i} + \eta_i(t)x˙i=−∂xi∂V(x)+ηi(t)
を経路積分化すると、ゴースト場 ψ,ψˉ\psi, \bar{\psi}ψ,ψˉ を導入して次のような作用が得られます：

S[x,ψ,ψˉ]=∫dt[12(x˙+∇V)2+ψˉ∇2Vψ]S[x,\psi,\bar{\psi}] = \int dt \left[ \frac{1}{2}(\dot{x} + \nabla V)^2 + \bar{\psi} \nabla^2 V \psi \right]S[x,ψ,ψˉ]=∫dt[21(x˙+∇V)2+ψˉ∇2Vψ]
この理論はBRST型の超対称性（SUSY）を持ちます。
この対称性が保たれている限り、'''力学的安定性（ゆらぎの消失）'''が保証されます。

==== C. De Dominicis, T. Sompolinsky, M. Mézard, G. Parisi らの1980年代の研究によって、次の対応が明らかになりました： ====

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直感的に言うと：
* RS相では、エネルギーランドスケープは「単一の谷」で、ゆらぎがガウス的でSUSYが保たれる。
* RSB相では、指数的に多くの局所谷が生じ、確率過程のBRST対称性が破れ、スーパーパートナーの期待値がゼロでなくなる（= SUSY破れ）。

これを「SUSY ⇔ landscapeの単連結性」と見ることもできます。

==== SUSYが破れると、Witten指数（ボソン−フェルミオンの零モード差） ====

Δ=Tr(−1)Fe−βH\Delta = \mathrm{Tr}(-1)^F e^{-\beta H}Δ=Tr(−1)Fe−βH
が非零となり、ゼロモード（鞍点・遷移状態）が非対称に存在することを意味します。

スピングラスではこの「零モードの非対称性」が、RSB階層構造の出現に対応します。
* SUSY保持：局所安定点の間に平衡が成立。
* SUSY破れ：指数的に多くの準安定状態が生成（complex landscape）。

==== ランダムポテンシャル V(x)V(x)V(x) をもつ系のpartition function: ====

Z=∫dx e−βV(x)Z = \int dx\, e^{-\beta V(x)}Z=∫dxe−βV(x)
に対して、disorder平均を取ると「有効場」理論が生まれます。このとき導入されるフェルミオン的補助場は、BRST型SUSY構造を持ちます。

Parisi–Sourlas (1979) は、この構造を用いて「ランダム場理論がより低次元の超対称場理論に射影される」ことを示しました（次元還元現象）。

しかし、このSUSYが破れると、次元還元が成り立たなくなります。
実際、スピングラスのRSB相では次元還元が破綻します。

==== - G. Parisi, “Order Parameter for Spin-Glasses,” Phys. Rev. Lett. 50 (1979) 1946. ====
* C. De Dominicis and I. Kondor, “Dynamics and Symmetries of Spin Glasses,” J. Phys. Lett. 45 (1984) L205.
* G. Parisi and N. Sourlas, “Supersymmetric field theories and stochastic differential equations,” Nucl. Phys. B206 (1982) 321.
* M. Mézard, G. Parisi, M.A. Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond (World Scientific, 1987).
* A. Annibale, A. Cavagna, “Supersymmetry breaking in random matrix models,” J. Phys. A 36 (2003) 10937.

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もしご希望あれば：
* Langevin形式でのSUSY生成子(Q, \bar{Q})の明示的構築
* Parisi–Sourlasの「次元還元とSUSY破れ」部分の数式展開
* RSB階層構造とSUSYゼロモードの多重度の具体的対応表

など、より技術的に掘り下げた説明も可能です。どの部分を深く見たいですか？

=== User: 詳しい文献のリンクを教えて下さい ===
詳しい文献のリンクを教えて下さい

=== Assistant: 以下に、特に「Giorgio Parisi／Nicolas Sourlas 型の超対称性（SUSY）・次元還元・レプリカ対称性破れ（RSB）に関して 必読・参考になる論文／講義ノートを列挙します。ご希望ならPDFリンクも探せます。 ===
以下に、特に「Giorgio Parisi／Nicolas Sourlas 型の超対称性（SUSY）・次元還元・レプリカ対称性破れ（RSB）に関して 必読・参考になる論文／講義ノートを列挙します。ご希望ならPDFリンクも探せます。

===== 📚 重要文献リスト =====
# Slava Rychkov, “Four Lectures on the Random Field Ising Model, Parisi-Sourlas Supersymmetry, and Dimensional Reduction” (2023) — arXiv preprint. arXiv<ref>{{cite web|title=arXiv|url=https://arxiv.org/pdf/2303.09654|publisher=arxiv.org|access-date=2025-11-17}}</ref> - RFIM（ランダム場イジング模型）を題材に、Parisi-Sourlas SUSY／次元還元／その破れまで丁寧に解説。 - 講義形式なので、初心者〜中級者にもわかりやすい。 - 特に「SUSY Ward 恒等式」「次元還元がどこで破れるか」の議論あり。
# Apratim Kaviraj, Emilio Trevisani “Random Field ϕ³ Model and Parisi-Sourlas Supersymmetry” (2022) — JHEP and arXiv version. SpringerLink<ref>{{cite web|title=SpringerLink|url=https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP08%282022%29290|publisher=link.springer.com|access-date=2025-11-17}}</ref> - ϕ³ 型ランダム場模型に対して RG アプローチで SUSY と次元還元を調べた最新の論文。 - 「SUSY 破れが起きないモデル」として、比較対象としても非常に参考になります。
# Rémi Monasson “Optimization problems and replica symmetry breaking in …” (1998) — 複雑度（状態数）・RSB に関する古典。 École Normale Supérieure Physique<ref>{{cite web|title=École Normale Supérieure Physique|url=https://www.phys.ens.psl.eu/~monasson/Articles/a24.pdf|publisher=École Normale Supérieure Physique|access-date=2025-11-17}}</ref> - RSB／状態数（複雑度）の定式化に非常に有用。 - 「SUSY 破れ → 無数のメタステーブル解」の文脈で、TAP 方程式やレプリカ束縛方式が出てきます。
# Gilles Tarjus, Matthieu Tissier, Ivan Balog “On the breakdown of dimensional reduction and supersymmetry in random-field models” (2024) — arXiv preprint. arXiv<ref>{{cite web|title=arXiv|url=https://arxiv.org/abs/2411.11147|publisher=arxiv.org|access-date=2025-11-17}}</ref> - 次元還元と SUSY の破れを、関数的 RG (FRG) の視点から整理している。 - 「どの次元で破れが起きるか」「破れの機構は何か」が丁寧に扱われています。
# K Ghosh, Emilio Trevisani “A Tale of Two Uplifts: Parisi-Sourlas with Defects” (2025) — arXiv preprint. SciPost<ref>{{cite web|title=SciPost|url=https://scipost.org/SciPostPhys.18.2.056/pdf|publisher=scipost.org|access-date=2025-11-17}}</ref> - 最近の “uplift”／“パリシ‐スーラス SUSY” を更に発展させた理論的研究。次元還元を超えた展開も参考になります。

もしご希望であれば、これらに加えて もっと古典的な論文（例えば Parisi-Sourlas の原著、De Dominicis／Sompolinsky 等の RSB＋SUSY 論文）も探せます。また、PDFをダウンロード可能なリンクを探し、ご提示することも可能です。どうしますか？